Theorem sprsymrelf1lem 41741

Description: Lemma for sprsymrelf1 41746. (Contributed by AV, 22-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelf1lem	|- ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> a C_ b ) )

Distinct variable groups:   V, c   a, b, c, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, a, b)

Proof of Theorem sprsymrelf1lem

Dummy variables p i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssspr 41735	. . . . . 6 |- ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ p e. a ) -> E. i e. V E. j e. V p = { i , j } )
2	1	ad4ant14 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) /\ p e. a ) -> E. i e. V E. j e. V p = { i , j } )
3		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) -> p = { i , j } )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> p = { i , j } )
5	4	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> ( p e. a <-> { i , j } e. a ) )
6		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ { i , j } e. a ) -> { i , j } e. a )
7		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = { i , j } -> ( c = { i , j } <-> { i , j } = { i , j } ) )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ { i , j } e. a ) /\ c = { i , j } ) -> ( c = { i , j } <-> { i , j } = { i , j } ) )
9		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ { i , j } e. a ) -> { i , j } = { i , j } )
10	6, 8, 9	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ { i , j } e. a ) -> E. c e. a c = { i , j } )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) /\ { i , j } e. a ) -> E. c e. a c = { i , j } )
12		preq12 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> { x , y } = { i , j } )
13	12	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( c = { x , y } <-> c = { i , j } ) )
14	13	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( E. c e. a c = { x , y } <-> E. c e. a c = { i , j } ) )
15	14	opelopabga 4988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. V /\ j e. V ) -> ( <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } <-> E. c e. a c = { i , j } ) )
16	15	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. V /\ j e. V ) -> ( E. c e. a c = { i , j } <-> <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } ) )
17	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) /\ { i , j } e. a ) -> ( E. c e. a c = { i , j } <-> <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } ) )
18	11, 17	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) /\ { i , j } e. a ) -> <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } )
19	18	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> ( { i , j } e. a -> <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } ) )
20	5, 19	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> ( p e. a -> <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } ) )
21		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> ( <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } <-> <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) )
22	21	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> ( <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } <-> <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) )
23		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- i e. _V
24		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- j e. _V
25	13	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( E. c e. b c = { x , y } <-> E. c e. b c = { i , j } ) )
26	25	opelopabga 4988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. _V /\ j e. _V ) -> ( <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } <-> E. c e. b c = { i , j } ) )
27	23, 24, 26	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } <-> E. c e. b c = { i , j } )
28		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( p = { i , j } /\ c = { i , j } ) -> p = c )
29	28	equcomd 1946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p = { i , j } /\ c = { i , j } ) -> c = p )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p = { i , j } /\ c = { i , j } ) -> ( c e. b <-> p e. b ) )
31	30	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p = { i , j } /\ c = { i , j } ) -> ( c e. b -> p e. b ) )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = { i , j } -> ( c = { i , j } -> ( c e. b -> p e. b ) ) )
33	32	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. b -> ( c = { i , j } -> ( p = { i , j } -> p e. b ) ) )
34	33	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c e. b /\ c = { i , j } ) -> ( p = { i , j } -> p e. b ) )
35	34	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. c e. b c = { i , j } -> ( p = { i , j } -> p e. b ) )
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = { i , j } -> ( E. c e. b c = { i , j } -> p e. b ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) -> ( E. c e. b c = { i , j } -> p e. b ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> ( E. c e. b c = { i , j } -> p e. b ) )
39	27, 38	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> ( <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> p e. b ) )
40	22, 39	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> ( <. i , j >. e. { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } -> p e. b ) )
41	20, 40	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) /\ ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) ) -> ( p e. a -> p e. b ) )
42	41	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( i e. V /\ j e. V ) /\ p = { i , j } ) -> ( ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) /\ p e. a ) -> p e. b ) )
43	42	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( i e. V /\ j e. V ) -> ( p = { i , j } -> ( ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) /\ p e. a ) -> p e. b ) ) )
44	43	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( i e. V -> ( E. j e. V p = { i , j } -> ( ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) /\ p e. a ) -> p e. b ) ) )
45	44	rexlimiv 3027	. . . . 5 |- ( E. i e. V E. j e. V p = { i , j } -> ( ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) /\ p e. a ) -> p e. b ) )
46	2, 45	mpcom 38	. . . 4 |- ( ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) /\ p e. a ) -> p e. b )
47	46	ex 450	. . 3 |- ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) -> ( p e. a -> p e. b ) )
48	47	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) /\ { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } ) -> a C_ b )
49	48	ex 450	1 |- ( ( a C_ (Pairs ` V ) /\ b C_ (Pairs ` V ) ) -> ( { <. x , y >. | E. c e. a c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. b c = { x , y } } -> a C_ b ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   {copab 4712   ` cfv 5888  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-spr 41728

This theorem is referenced by:  sprsymrelf1  41746