Theorem trint 4768

Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trint	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem trint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr3 4756	. . . . 5 |- ( Tr x <-> A. y e. x y C_ x )
2	1	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
3		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y C_ x <-> A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
4	3	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
5		ralcom4 3224	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
6	4, 5	bitri 264	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
7	2, 6	sylbb 209	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
8		ralim 2948	. . 3 |- ( A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
9	7, 8	sylg 1750	. 2 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
10		dftr3 4756	. . 3 |- ( Tr |^| A <-> A. y e. |^| A y C_ |^| A )
11		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) )
12		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
13	12	elint2 4482	. . . . . 6 |- ( y e. |^| A <-> A. x e. A y e. x )
14		ssint 4493	. . . . . 6 |- ( y C_ |^| A <-> A. x e. A y C_ x )
15	13, 14	imbi12i 340	. . . . 5 |- ( ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
16	15	albii 1747	. . . 4 |- ( A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
17	11, 16	bitri 264	. . 3 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
18	10, 17	bitri 264	. 2 |- ( Tr |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
19	9, 18	sylibr 224	1 |- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   |^|cint 4475   Tr wtr 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-uni 4437  df-int 4476  df-tr 4753

This theorem is referenced by:  tctr  8616  intwun  9557  intgru  9636  dfon2lem8  31695