Theorem trnsetN 35443

Description: The set of translations for a fiducial atom D. (Contributed by NM, 4-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
trnset.a	|- A = ( Atoms ` K )
trnset.s	|- S = ( PSubSp ` K )
trnset.p	|- .+ = ( +P ` K )
trnset.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )
trnset.w	|- W = ( WAtoms ` K )
trnset.m	|- M = ( PAut ` K )
trnset.l	|- L = ( Dil ` K )
trnset.t	|- T = ( Trn ` K )

Assertion

Ref	Expression
trnsetN	|- ( ( K e. B /\ D e. A ) -> ( T ` D ) = { f e. ( L ` D ) | A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) } )

Distinct variable groups:   f, q, r, K   f, L   W, q, r   D, f, q, r

Allowed substitution hints:   A( f, r, q)   B( f, r, q)   .+ ( f, r, q)   S( f, r, q)   T( f, r, q)   L( r, q)   M( f, r, q)   ._|_ ( f, r, q)   W( f)

Proof of Theorem trnsetN

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trnset.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
2		trnset.s	. . . 4 |- S = ( PSubSp ` K )
3		trnset.p	. . . 4 |- .+ = ( +P ` K )
4		trnset.o	. . . 4 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
5		trnset.w	. . . 4 |- W = ( WAtoms ` K )
6		trnset.m	. . . 4 |- M = ( PAut ` K )
7		trnset.l	. . . 4 |- L = ( Dil ` K )
8		trnset.t	. . . 4 |- T = ( Trn ` K )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	trnfsetN 35442	. . 3 |- ( K e. B -> T = ( d e. A |-> { f e. ( L ` d ) | A. q e. ( W ` d ) A. r e. ( W ` d ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) } ) )
10	9	fveq1d 6193	. 2 |- ( K e. B -> ( T ` D ) = ( ( d e. A |-> { f e. ( L ` d ) | A. q e. ( W ` d ) A. r e. ( W ` d ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) } ) ` D ) )
11		fveq2 6191	. . . 4 |- ( d = D -> ( L ` d ) = ( L ` D ) )
12		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( d = D -> ( W ` d ) = ( W ` D ) )
13		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( d = D -> { d } = { D } )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ._|_ ` { d } ) = ( ._|_ ` { D } ) )
15	14	ineq2d 3814	. . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) )
16	14	ineq2d 3814	. . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) )
17	15, 16	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) <-> ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) )
18	12, 17	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( d = D -> ( A. r e. ( W ` d ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) <-> A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) )
19	12, 18	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( d = D -> ( A. q e. ( W ` d ) A. r e. ( W ` d ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) <-> A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) )
20	11, 19	rabeqbidv 3195	. . 3 |- ( d = D -> { f e. ( L ` d ) | A. q e. ( W ` d ) A. r e. ( W ` d ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) } = { f e. ( L ` D ) | A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) } )
21		eqid 2622	. . 3 |- ( d e. A |-> { f e. ( L ` d ) | A. q e. ( W ` d ) A. r e. ( W ` d ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) } ) = ( d e. A |-> { f e. ( L ` d ) | A. q e. ( W ` d ) A. r e. ( W ` d ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) } )
22		fvex 6201	. . . 4 |- ( L ` D ) e. _V
23	22	rabex 4813	. . 3 |- { f e. ( L ` D ) | A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) } e. _V
24	20, 21, 23	fvmpt 6282	. 2 |- ( D e. A -> ( ( d e. A |-> { f e. ( L ` d ) | A. q e. ( W ` d ) A. r e. ( W ` d ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { d } ) ) } ) ` D ) = { f e. ( L ` D ) | A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) } )
25	10, 24	sylan9eq 2676	1 |- ( ( K e. B /\ D e. A ) -> ( T ` D ) = { f e. ( L ` D ) | A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Atomscatm 34550   PSubSpcpsubsp 34782   +Pcpadd 35081   _|_PcpolN 35188   WAtomscwpointsN 35272   PAutcpautN 35273   DilcdilN 35388   TrnctrnN 35389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trnN 35393

This theorem is referenced by:  istrnN  35444