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Theorem ufprim 21713
Description: An ultrafilter is a prime filter. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufprim |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( A e. F \/ B e. F ) <-> ( A u. B ) e. F ) )
Proof of Theorem ufprim
StepHypRef Expression
1 ufilfil 21708 . . . . . . 7 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
213ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
32adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ A e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
4 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ A e. F ) -> A e. F )
5 unss 3787 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ X /\ B C_ X ) <-> ( A u. B ) C_ X )
65biimpi 206 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A u. B ) C_ X )
763adant1 1079 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A u. B ) C_ X )
87adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ A e. F ) -> ( A u. B ) C_ X )
9 ssun1 3776 . . . . . 6 |- A C_ ( A u. B )
109a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ A e. F ) -> A C_ ( A u. B ) )
11 filss 21657 . . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( A e. F /\ ( A u. B ) C_ X /\ A C_ ( A u. B ) ) ) -> ( A u. B ) e. F )
123, 4, 8, 10, 11syl13anc 1328 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ A e. F ) -> ( A u. B ) e. F )
1312ex 450 . . 3 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A e. F -> ( A u. B ) e. F ) )
142adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ B e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
15 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ B e. F ) -> B e. F )
167adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ B e. F ) -> ( A u. B ) C_ X )
17 ssun2 3777 . . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
1817a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ B e. F ) -> B C_ ( A u. B ) )
19 filss 21657 . . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( B e. F /\ ( A u. B ) C_ X /\ B C_ ( A u. B ) ) ) -> ( A u. B ) e. F )
2014, 15, 16, 18, 19syl13anc 1328 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ B e. F ) -> ( A u. B ) e. F )
2120ex 450 . . 3 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( B e. F -> ( A u. B ) e. F ) )
2213, 21jaod 395 . 2 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( A e. F \/ B e. F ) -> ( A u. B ) e. F ) )
23 ufilb 21710 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X ) -> ( -. A e. F <-> ( X \ A ) e. F ) )
24233adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( -. A e. F <-> ( X \ A ) e. F ) )
2524adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F ) -> ( -. A e. F <-> ( X \ A ) e. F ) )
2623ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F /\ ( X \ A ) e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
27 difun2 4048 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B u. A ) \ A ) = ( B \ A )
28 uncom 3757 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B u. A ) = ( A u. B )
2928difeq1i 3724 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B u. A ) \ A ) = ( ( A u. B ) \ A )
3027, 29eqtr3i 2646 . . . . . . . . . 10 |- ( B \ A ) = ( ( A u. B ) \ A )
3130ineq2i 3811 . . . . . . . . 9 |- ( X i^i ( B \ A ) ) = ( X i^i ( ( A u. B ) \ A ) )
32 indifcom 3872 . . . . . . . . 9 |- ( B i^i ( X \ A ) ) = ( X i^i ( B \ A ) )
33 indifcom 3872 . . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) i^i ( X \ A ) ) = ( X i^i ( ( A u. B ) \ A ) )
3431, 32, 333eqtr4i 2654 . . . . . . . 8 |- ( B i^i ( X \ A ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( X \ A ) )
35 filin 21658 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( A u. B ) e. F /\ ( X \ A ) e. F ) -> ( ( A u. B ) i^i ( X \ A ) ) e. F )
362, 35syl3an1 1359 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F /\ ( X \ A ) e. F ) -> ( ( A u. B ) i^i ( X \ A ) ) e. F )
3734, 36syl5eqel 2705 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F /\ ( X \ A ) e. F ) -> ( B i^i ( X \ A ) ) e. F )
38 simp13 1093 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F /\ ( X \ A ) e. F ) -> B C_ X )
39 inss1 3833 . . . . . . . 8 |- ( B i^i ( X \ A ) ) C_ B
4039a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F /\ ( X \ A ) e. F ) -> ( B i^i ( X \ A ) ) C_ B )
41 filss 21657 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( B i^i ( X \ A ) ) e. F /\ B C_ X /\ ( B i^i ( X \ A ) ) C_ B ) ) -> B e. F )
4226, 37, 38, 40, 41syl13anc 1328 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F /\ ( X \ A ) e. F ) -> B e. F )
43423expia 1267 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F ) -> ( ( X \ A ) e. F -> B e. F ) )
4425, 43sylbid 230 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F ) -> ( -. A e. F -> B e. F ) )
4544orrd 393 . . 3 |- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A u. B ) e. F ) -> ( A e. F \/ B e. F ) )
4645ex 450 . 2 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( A u. B ) e. F -> ( A e. F \/ B e. F ) ) )
4722, 46impbid 202 1 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( A e. F \/ B e. F ) <-> ( A u. B ) e. F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ` cfv 5888   Filcfil 21649   UFilcufil 21703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-fbas 19743  df-fil 21650  df-ufil 21705
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