Theorem isufil2 21712

Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isufil2	|- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, X

Proof of Theorem isufil2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 21708	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2		ufilmax 21711	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) -> F = f )
3	2	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( F C_ f -> F = f ) )
4	3	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) )
5	1, 4	jca 554	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )
6		simpl 473	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
7		selpw 4165	. . . . 5 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
8		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
9		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
10		unexg 6959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { x } e. _V ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
11	8, 9, 10	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) e. _V )
12		ssfii 8325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F u. { x } ) e. _V -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
14		filsspw 21655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ~P X )
16	7	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x C_ X -> x e. ~P X )
17	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ~P X )
18	17	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } C_ ~P X )
19	15, 18	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ~P X )
20		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } C_ ( F u. { x } )
21		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
22	21	snnz 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x } =/= (/)
23		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { x } C_ ( F u. { x } ) /\ { x } =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
24	20, 22, 23	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F u. { x } ) =/= (/)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
27		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = x -> ( y i^i f ) = ( y i^i x ) )
28	27	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = x -> ( ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) ) )
29	21, 28	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) )
30	29	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
31	26, 30	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) )
32		filfbas 21652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
34		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x C_ X )
35		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X i^i x ) C_ x
36		filtop 21659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) -> X e. F )
38		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = X -> ( y i^i x ) = ( X i^i x ) )
39	38	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = X -> ( ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( X i^i x ) =/= (/) ) )
40	39	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( X e. F /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
41	37, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) )
42		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X i^i x ) C_ x /\ ( X i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
43	35, 41, 42	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) )
44	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> X e. F )
45		snfbas 21670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x C_ X /\ x =/= (/) /\ X e. F ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
46	34, 43, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } e. ( fBas ` X ) )
47		fbunfip 21673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { x } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
48	33, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) )
49	31, 48	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) )
50		fsubbas 21671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
51	44, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
52	19, 25, 49, 51	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) )
53		ssfg 21676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
55	13, 54	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
56	55	unssad 3790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
57		fgcl 21682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
58		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F C_ f <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
59		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F = f <-> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
60	58, 59	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( ( F C_ f -> F = f ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
61	60	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
62	52, 57, 61	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) )
63	56, 62	mpid 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
64		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. { x }
65	20, 64	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. ( F u. { x } )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( F u. { x } ) )
67	55, 66	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) )
68		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( x e. F <-> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) )
69	67, 68	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> x e. F ) )
70	63, 69	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> x e. F ) )
71	70	impancom 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
72	71	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) )
73	72	con3d 148	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) )
74		rexnal 2995	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) )
75		nne 2798	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) = (/) )
76		filelss 21656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
77		reldisj 4020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ X -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) )
79		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X \ x ) C_ X
80		filss 21657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ ( X \ x ) C_ X /\ y C_ ( X \ x ) ) ) -> ( X \ x ) e. F )
81	80	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( ( X \ x ) C_ X -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) ) )
82	79, 81	mpii 46	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) )
83	82	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) )
84	78, 83	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
85	75, 84	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
86	85	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
87	74, 86	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
88	87	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) )
89	73, 88	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( X \ x ) e. F ) )
90	89	orrd 393	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
91	7, 90	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
92	91	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
93		isufil 21707	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) )
94	6, 92, 93	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( UFil ` X ) )
95	5, 94	impbii 199	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ficfi 8316   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649   UFilcufil 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705

This theorem is referenced by:  filssufilg  21715  fmufil  21763