Theorem usgrexilem 26336

Description: Lemma for usgrexi 26337. (Contributed by AV, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	|- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }

Assertion

Ref	Expression
usgrexilem	|- ( V e. W -> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   P( x)   W( x)

Proof of Theorem usgrexilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6174	. . . 4 |- ( _I |` P ) : P -1-1-onto-> P
2		f1of1 6136	. . . 4 |- ( ( _I |` P ) : P -1-1-onto-> P -> ( _I |` P ) : P -1-1-> P )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( _I |` P ) : P -1-1-> P
4		dmresi 5457	. . . 4 |- dom ( _I |` P ) = P
5		f1eq2 6097	. . . 4 |- ( dom ( _I |` P ) = P -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P <-> ( _I |` P ) : P -1-1-> P ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P <-> ( _I |` P ) : P -1-1-> P )
7	3, 6	mpbir 221	. 2 |- ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P
8		usgrexi.p	. . . 4 |- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }
9	8	eqcomi 2631	. . 3 |- { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } = P
10		f1eq3 6098	. . 3 |- ( { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } = P -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P ) )
11	9, 10	mp1i 13	. 2 |- ( V e. W -> ( ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> P ) )
12	7, 11	mpbiri 248	1 |- ( V e. W -> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   ~Pcpw 4158   _I cid 5023   dom cdm 5114   |` cres 5116   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   2c2 11070   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  usgrexi  26337  structtousgr  26341