Theorem usgrexi 26337

Description: An arbitrary set regarded as vertices together with the set of pairs of elements of this set regarded as edges is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	|- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }

Assertion

Ref	Expression
usgrexi	|- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. USGraph )

Distinct variable groups:   x, V   x, P   x, W

Proof of Theorem usgrexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . . 4 |- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }
2	1	usgrexilem 26336	. . 3 |- ( V e. W -> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
3	1	cusgrexilem1 26335	. . . . 5 |- ( V e. W -> ( _I |` P ) e. _V )
4		opiedgfv 25887	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ( _I |` P ) )
5	3, 4	mpdan 702	. . . 4 |- ( V e. W -> (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ( _I |` P ) )
6	5	dmeqd 5326	. . . 4 |- ( V e. W -> dom (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = dom ( _I |` P ) )
7		opvtxfv 25884	. . . . . . 7 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = V )
8	3, 7	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( V e. W -> (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = V )
9	8	pweqd 4163	. . . . 5 |- ( V e. W -> ~P (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ~P V )
10	9	rabeqdv 3194	. . . 4 |- ( V e. W -> { x e. ~P (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) | ( # ` x ) = 2 } = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
11	5, 6, 10	f1eq123d 6131	. . 3 |- ( V e. W -> ( (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) : dom (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) | ( # ` x ) = 2 } <-> ( _I |` P ) : dom ( _I |` P ) -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) )
12	2, 11	mpbird 247	. 2 |- ( V e. W -> (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) : dom (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) | ( # ` x ) = 2 } )
13		opex 4932	. . 3 |- <. V , ( _I |` P ) >. e. _V
14		eqid 2622	. . . 4 |- (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. )
15		eqid 2622	. . . 4 |- (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. )
16	14, 15	isusgrs 26051	. . 3 |- ( <. V , ( _I |` P ) >. e. _V -> ( <. V , ( _I |` P ) >. e. USGraph <-> (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) : dom (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) | ( # ` x ) = 2 } ) )
17	13, 16	mp1i 13	. 2 |- ( V e. W -> ( <. V , ( _I |` P ) >. e. USGraph <-> (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) : dom (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) | ( # ` x ) = 2 } ) )
18	12, 17	mpbird 247	1 |- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. USGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   _I cid 5023   dom cdm 5114   |` cres 5116   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   2c2 11070   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   USGraph cusgr 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-usgr 26046

This theorem is referenced by:  cusgrexi  26339