Theorem cusgrexilem1 26335

Description: Lemma 1 for cusgrexi 26339. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	|- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }

Assertion

Ref	Expression
cusgrexilem1	|- ( V e. W -> ( _I |` P ) e. _V )

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   P( x)   W( x)

Proof of Theorem cusgrexilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . 3 |- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }
2		pwexg 4850	. . 3 |- ( V e. W -> ~P V e. _V )
3	1, 2	rabexd 4814	. 2 |- ( V e. W -> P e. _V )
4		resiexg 7102	. 2 |- ( P e. _V -> ( _I |` P ) e. _V )
5	3, 4	syl 17	1 |- ( V e. W -> ( _I |` P ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   _I cid 5023   |` cres 5116   ` cfv 5888   2c2 11070   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-res 5126

This theorem is referenced by:  usgrexi  26337  cusgrexi  26339  cusgrexg  26340  structtousgr  26341  structtocusgr  26342