Theorem wl-nfeqfb 33323

Description: Extend nfeqf 2301 to an equivalence. (Contributed by Wolf Lammen, 31-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
wl-nfeqfb	|- ( F/ x y = z <-> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )

Proof of Theorem wl-nfeqfb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nf5r 2064	. . . . 5 |- ( F/ x y = z -> ( y = z -> A. x y = z ) )
2	1	imp 445	. . . 4 |- ( ( F/ x y = z /\ y = z ) -> A. x y = z )
3		wl-aleq 33322	. . . . 5 |- ( A. x y = z <-> ( y = z /\ ( A. x x = y <-> A. x x = z ) ) )
4	3	simprbi 480	. . . 4 |- ( A. x y = z -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
5	2, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( F/ x y = z /\ y = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
6		nfnt 1782	. . . . . 6 |- ( F/ x y = z -> F/ x -. y = z )
7	6	nf5rd 2066	. . . . 5 |- ( F/ x y = z -> ( -. y = z -> A. x -. y = z ) )
8	7	imp 445	. . . 4 |- ( ( F/ x y = z /\ -. y = z ) -> A. x -. y = z )
9		alnex 1706	. . . . . 6 |- ( A. x -. y = z <-> -. E. x y = z )
10		wl-exeq 33321	. . . . . 6 |- ( E. x y = z <-> ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) )
11	9, 10	xchbinx 324	. . . . 5 |- ( A. x -. y = z <-> -. ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) )
12		3ioran 1056	. . . . 5 |- ( -. ( y = z \/ A. x x = y \/ A. x x = z ) <-> ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
13	11, 12	sylbb 209	. . . 4 |- ( A. x -. y = z -> ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
14		3simpc 1060	. . . 4 |- ( ( -. y = z /\ -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) )
15		pm5.21 903	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
16	8, 13, 14, 15	4syl 19	. . 3 |- ( ( F/ x y = z /\ -. y = z ) -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
17	5, 16	pm2.61dan 832	. 2 |- ( F/ x y = z -> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )
18		ax7 1943	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x = z -> y = z ) )
19	18	al2imi 1743	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = z -> A. x y = z ) )
20		nftht 1718	. . . 4 |- ( A. x y = z -> F/ x y = z )
21	19, 20	syl6 35	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = z -> F/ x y = z ) )
22		nfeqf 2301	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y = z )
23	22	ex 450	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> F/ x y = z ) )
24	21, 23	bija 370	. 2 |- ( ( A. x x = y <-> A. x x = z ) -> F/ x y = z )
25	17, 24	impbii 199	1 |- ( F/ x y = z <-> ( A. x x = y <-> A. x x = z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   A.wal 1481   E.wex 1704   F/wnf 1708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by: (None)