Theorem xpsspw 5233

Description: A Cartesian product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Proof of Theorem xpsspw

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5227	. 2 |- Rel ( A X. B )
2		opelxp 5146	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
3		snssi 4339	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
4		ssun3 3778	. . . . . . . 8 |- ( { x } C_ A -> { x } C_ ( A u. B ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> { x } C_ ( A u. B ) )
6		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
7	6	elpw 4164	. . . . . . 7 |- ( { x } e. ~P ( A u. B ) <-> { x } C_ ( A u. B ) )
8	5, 7	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( x e. A -> { x } e. ~P ( A u. B ) )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x } e. ~P ( A u. B ) )
10		df-pr 4180	. . . . . . 7 |- { x , y } = ( { x } u. { y } )
11		snssi 4339	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> { y } C_ B )
12		ssun4 3779	. . . . . . . . . 10 |- ( { y } C_ B -> { y } C_ ( A u. B ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> { y } C_ ( A u. B ) )
14	5, 13	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) )
15		unss 3787	. . . . . . . 8 |- ( ( { x } C_ ( A u. B ) /\ { y } C_ ( A u. B ) ) <-> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
16	14, 15	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
17	10, 16	syl5eqss 3649	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } C_ ( A u. B ) )
18		zfpair2 4907	. . . . . . 7 |- { x , y } e. _V
19	18	elpw 4164	. . . . . 6 |- ( { x , y } e. ~P ( A u. B ) <-> { x , y } C_ ( A u. B ) )
20	17, 19	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ~P ( A u. B ) )
21	9, 20	jca 554	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } e. ~P ( A u. B ) /\ { x , y } e. ~P ( A u. B ) ) )
22		prex 4909	. . . . . 6 |- { { x } , { x , y } } e. _V
23	22	elpw 4164	. . . . 5 |- ( { { x } , { x , y } } e. ~P ~P ( A u. B ) <-> { { x } , { x , y } } C_ ~P ( A u. B ) )
24		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
25		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
26	24, 25	dfop 4401	. . . . . 6 |- <. x , y >. = { { x } , { x , y } }
27	26	eleq1i 2692	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ~P ~P ( A u. B ) <-> { { x } , { x , y } } e. ~P ~P ( A u. B ) )
28	6, 18	prss 4351	. . . . 5 |- ( ( { x } e. ~P ( A u. B ) /\ { x , y } e. ~P ( A u. B ) ) <-> { { x } , { x , y } } C_ ~P ( A u. B ) )
29	23, 27, 28	3bitr4ri 293	. . . 4 |- ( ( { x } e. ~P ( A u. B ) /\ { x , y } e. ~P ( A u. B ) ) <-> <. x , y >. e. ~P ~P ( A u. B ) )
30	21, 29	sylib 208	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. x , y >. e. ~P ~P ( A u. B ) )
31	2, 30	sylbi 207	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ~P ~P ( A u. B ) )
32	1, 31	relssi 5211	1 |- ( A X. B ) C_ ~P ~P ( A u. B )

Syntax hints:   /\ wa 384   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  unixpss  5234  xpexg  6960  rankxpu  8739  wunxp  9546  gruxp  9629