MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsex Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem xrsex 19761
Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsex |- RR*s e. _V
Proof of Theorem xrsex
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-xrs 16162 . 2 |- RR*s = ( { <. ( Base ` ndx ) , RR* >. , <. ( +g ` ndx ) , +e >. , <. ( .r ` ndx ) , xe >. } u. { <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` <_ ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. RR* , y e. RR* |-> if ( x <_ y , ( y +e -e x ) , ( x +e -e y ) ) ) >. } )
2 tpex 6957 . . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , RR* >. , <. ( +g ` ndx ) , +e >. , <. ( .r ` ndx ) , xe >. } e. _V
3 tpex 6957 . . 3 |- { <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` <_ ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. RR* , y e. RR* |-> if ( x <_ y , ( y +e -e x ) , ( x +e -e y ) ) ) >. } e. _V
42, 3unex 6956 . 2 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , RR* >. , <. ( +g ` ndx ) , +e >. , <. ( .r ` ndx ) , xe >. } u. { <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` <_ ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( x e. RR* , y e. RR* |-> if ( x <_ y , ( y +e -e x ) , ( x +e -e y ) ) ) >. } ) e. _V
51, 4eqeltri 2697 1 |- RR*s e. _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   ifcif 4086   {ctp 4181   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   -ecxne 11943   +ecxad 11944   xecxmu 11945   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  TopSetcts 15947   lecple 15948   distcds 15950  ordTopcordt 16159   RR*scxrs 16160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-uni 4437  df-xrs 16162
This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  22178  xrslt  29676  xrsmulgzz  29678  xrstos  29679  xrsp0  29681  xrsp1  29682  pnfinf  29737  xrnarchi  29738
  Copyright terms: Public domain W3C validator