Theorem xrnarchi 29738

Description: The completed real line is not Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrnarchi	|- -. RR*s e. Archi

Proof of Theorem xrnarchi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . 4 |- 1 e. RR
2	1	rexri 10097	. . 3 |- 1 e. RR*
3		pnfxr 10092	. . 3 |- +oo e. RR*
4		1rp 11836	. . . 4 |- 1 e. RR+
5		pnfinf 29737	. . . 4 |- ( 1 e. RR+ -> 1 (<<< ` RR*s ) +oo )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- 1 (<<< ` RR*s ) +oo
7		breq1 4656	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( x (<<< ` RR*s ) y <-> 1 (<<< ` RR*s ) y ) )
8		breq2 4657	. . . 4 |- ( y = +oo -> ( 1 (<<< ` RR*s ) y <-> 1 (<<< ` RR*s ) +oo ) )
9	7, 8	rspc2ev 3324	. . 3 |- ( ( 1 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 1 (<<< ` RR*s ) +oo ) -> E. x e. RR* E. y e. RR* x (<<< ` RR*s ) y )
10	2, 3, 6, 9	mp3an 1424	. 2 |- E. x e. RR* E. y e. RR* x (<<< ` RR*s ) y
11		rexnal 2995	. . 3 |- ( E. x e. RR* -. A. y e. RR* -. x (<<< ` RR*s ) y <-> -. A. x e. RR* A. y e. RR* -. x (<<< ` RR*s ) y )
12		dfrex2 2996	. . . 4 |- ( E. y e. RR* x (<<< ` RR*s ) y <-> -. A. y e. RR* -. x (<<< ` RR*s ) y )
13	12	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. x e. RR* E. y e. RR* x (<<< ` RR*s ) y <-> E. x e. RR* -. A. y e. RR* -. x (<<< ` RR*s ) y )
14		xrsex 19761	. . . . 5 |- RR*s e. _V
15		xrsbas 19762	. . . . . 6 |- RR* = ( Base ` RR*s )
16		xrs0 29675	. . . . . 6 |- 0 = ( 0g ` RR*s )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- (<<< ` RR*s ) = (<<< ` RR*s )
18	15, 16, 17	isarchi 29736	. . . . 5 |- ( RR*s e. _V -> ( RR*s e. Archi <-> A. x e. RR* A. y e. RR* -. x (<<< ` RR*s ) y ) )
19	14, 18	ax-mp 5	. . . 4 |- ( RR*s e. Archi <-> A. x e. RR* A. y e. RR* -. x (<<< ` RR*s ) y )
20	19	notbii 310	. . 3 |- ( -. RR*s e. Archi <-> -. A. x e. RR* A. y e. RR* -. x (<<< ` RR*s ) y )
21	11, 13, 20	3bitr4i 292	. 2 |- ( E. x e. RR* E. y e. RR* x (<<< ` RR*s ) y <-> -. RR*s e. Archi )
22	10, 21	mpbi 220	1 |- -. RR*s e. Archi

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   RR+crp 11832   RR*scxrs 16160  <<<cinftm 29730  Archicarchi 29731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-xrs 16162  df-plt 16958  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-inftm 29732  df-archi 29733

This theorem is referenced by: (None)