Theorem 1cvrco 34758

Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvrco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrco.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvrco.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
1cvrco.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrco.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvrco	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem 1cvrco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 34649	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		1cvrco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		1cvrco.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
6	4, 5	op1cl 34472	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
8		1cvrco.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
9		1cvrco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
10	4, 8, 9	cvrcon3b 34564	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
11	2, 3, 7, 10	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
12		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 5, 8	opoc1 34489	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
15	14	breq1d 4663	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘ 1 )𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋)))
16	4, 8	opoccl 34481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	1, 16	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	biantrurd 529	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
19	11, 15, 18	3bitrd 294	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
20		1cvrco.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	4, 12, 9, 20	isat 34573	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
22	21	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶( ⊥ ‘𝑋))))
23	19, 22	bitr4d 271	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  occoc 15949  0.cp0 17037  1.cp1 17038  OPcops 34459   ⋖ ccvr 34549  Atomscatm 34550  HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-p0 17039  df-p1 17040  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  1cvratex  34759  lhpoc  35300