Theorem ackbij1lem11 9052

Description: Lemma for ackbij1 9060. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem11	⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ω
2	1	sseli 3599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
3	2	elpwid 4170	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ω)
4		sstr 3611	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
5	3, 4	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ ω)
6		ssexg 4804	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
7		elpwg 4166	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐵 ⊆ ω))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐵 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐵 ⊆ ω))
9	5, 8	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
10	9	ancoms 469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
11		inss2 3834	. . . 4 ⊢ (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ Fin
12	11	sseli 3599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
13		ssfi 8180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
14	12, 13	sylan 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
15	10, 14	elind 3798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  ∪ ciun 4520   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ‘cfv 5888  ωcom 7065  Fincfn 7955  cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  9053  ackbij1lem15  9056  ackbij1lem16  9057  ackbij1lem18  9059