Theorem cda0en 9001

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cda0en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 +𝑐 ∅) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem cda0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		in0 3968	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
3		cdaun 8994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V ∧ (𝐴 ∩ ∅) = ∅) → (𝐴 +𝑐 ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
4	1, 2, 3	mp3an23 1416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 +𝑐 ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
5		un0 3967	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
6	4, 5	syl6breq 4694	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 +𝑐 ∅) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   ≈ cen 7952   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-en 7956  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  cdalepw  9018