Theorem cnvcnvss 5589

Description: The double converse of a class is a subclass. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvss	⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cnvcnvss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv 5586	. 2 ⊢ ◡◡𝐴 = (𝐴 ∩ (V × V))
2		inss1 3833	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (V × V)) ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3635	1 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴

Syntax hints:  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  funcnvcnv  5956  foimacnv  6154  cnvct  8033  cnvfi  8248  structcnvcnv  15871  strlemor1OLD  15969  mvdco  17865  fcoinver  29418  fcnvgreu  29472  cnvssb  37892  relnonrel  37893  clcnvlem  37930  cnvtrrel  37962  relexpaddss  38010