Theorem strlemor1OLD 15969

Description: Add one element to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 15968. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
strlemor.f	⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o	⊢ 𝐼 < 𝐽
strlemor.j	⊢ 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a	⊢ 𝐴 = 𝐽
strlemor1.g	⊢ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})

Assertion

Ref	Expression
strlemor1OLD	⊢ (Fun ◡◡𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))

Proof of Theorem strlemor1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strlemor.f	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
2	1	simpli 474	. . . . 5 ⊢ Fun ◡◡𝐹
3		funcnvsn 5936	. . . . 5 ⊢ Fun ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}
4	2, 3	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ Fun ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩})
5		cnvcnvss 5589	. . . . . . 7 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ 𝐹
6		dmss 5323	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 ⊆ 𝐹 → dom ◡◡𝐹 ⊆ dom 𝐹)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom ◡◡𝐹 ⊆ dom 𝐹
8		cnvcnvsn 5612	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡◡{⟨𝐽, 𝑋⟩} = ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}
9		cnvcnvss 5589	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡◡{⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
10	8, 9	eqsstr3i 3636	. . . . . . . 8 ⊢ ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
11		dmss 5323	. . . . . . . 8 ⊢ (◡{⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩} → dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}
13		dmsnopss 5607	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {𝐽}
14	12, 13	sstri 3612	. . . . . 6 ⊢ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}
15		ss2in 3840	. . . . . 6 ⊢ ((dom ◡◡𝐹 ⊆ dom 𝐹 ∧ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}) → (dom ◡◡𝐹 ∩ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}))
16	7, 14, 15	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (dom ◡◡𝐹 ∩ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽})
17		strlemor.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 < 𝐽
18		strlemor.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
20		strlemor.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
21	20	nnrei 11029	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 ∈ ℝ
22	19, 21	ltnlei 10158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 ≤ 𝐼)
23	17, 22	mpbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝐽 ≤ 𝐼
24		elfzle2 12345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (1...𝐼) → 𝐽 ≤ 𝐼)
25	23, 24	mto 188	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐽 ∈ (1...𝐼)
26	1	simpri 478	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼)
27	26	sseli 3599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ dom 𝐹 → 𝐽 ∈ (1...𝐼))
28	25, 27	mto 188	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹
29		disjsn 4246	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹)
30	28, 29	mpbir 221	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅
31		sseq0 3975	. . . . 5 ⊢ (((dom ◡◡𝐹 ∩ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) ∧ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅) → (dom ◡◡𝐹 ∩ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅)
32	16, 30, 31	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (dom ◡◡𝐹 ∩ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅
33		funun 5932	. . . 4 ⊢ (((Fun ◡◡𝐹 ∧ Fun ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}) ∧ (dom ◡◡𝐹 ∩ dom ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅) → Fun (◡◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
34	4, 32, 33	mp2an 708	. . 3 ⊢ Fun (◡◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩})
35		strlemor1.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
36		strlemor.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = 𝐽
37	36	opeq1i 4405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ⟨𝐽, 𝑋⟩
38	37	sneqi 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {⟨𝐽, 𝑋⟩}
39	38	uneq2i 3764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
40	35, 39	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
41	40	cnveqi 5297	. . . . . . 7 ⊢ ◡𝐺 = ◡(𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
42		cnvun 5538	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝐽, 𝑋⟩})
43	41, 42	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ◡𝐺 = (◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝐽, 𝑋⟩})
44	43	cnveqi 5297	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝐺 = ◡(◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝐽, 𝑋⟩})
45		cnvun 5538	. . . . . 6 ⊢ ◡(◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (◡◡𝐹 ∪ ◡◡{⟨𝐽, 𝑋⟩})
46	8	uneq2i 3764	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 ∪ ◡◡{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (◡◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩})
47	45, 46	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ◡(◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (◡◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩})
48	44, 47	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ◡◡𝐺 = (◡◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩})
49	48	funeqi 5909	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝐺 ↔ Fun (◡◡𝐹 ∪ ◡{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
50	34, 49	mpbir 221	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝐺
51	40	dmeqi 5325	. . . 4 ⊢ dom 𝐺 = dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
52		dmun 5331	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
53	51, 52	eqtri 2644	. . 3 ⊢ dom 𝐺 = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
54	18	nn0zi 11402	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
55	20	nnzi 11401	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ ℤ
56	19, 21, 17	ltleii 10160	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐽
57		eluz2 11693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ≤ 𝐽))
58	54, 55, 56, 57	mpbir3an 1244	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝐼)
59		fzss2 12381	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽))
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽)
61	26, 60	sstri 3612	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐽)
62		elfz1end 12371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ ↔ 𝐽 ∈ (1...𝐽))
63	20, 62	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (1...𝐽)
64		snssi 4339	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (1...𝐽) → {𝐽} ⊆ (1...𝐽))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝐽} ⊆ (1...𝐽)
66	13, 65	sstri 3612	. . . 4 ⊢ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ (1...𝐽)
67	61, 66	unssi 3788	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}) ⊆ (1...𝐽)
68	53, 67	eqsstri 3635	. 2 ⊢ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽)
69	50, 68	pm3.2i 471	1 ⊢ (Fun ◡◡𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  Fun wfun 5882  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  strlemor2OLD  15970  strlemor3OLD  15971