Theorem cvrval2 34561

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 29142 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   ≤ (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrletr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrletr.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrletr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 34556	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5		iman 440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6		df-ne 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
7	6	anbi2i 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
8	5, 7	xchbinxr 325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
9		cvrletr.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	9, 2	pltval 16960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
11	10	3com23 1271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
12	11	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
13	12	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
14		anass 681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
15	13, 14	syl6rbbr 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
16	15	notbid 308	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
17	8, 16	syl5bb 272	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
18	17	ralbidva 2985	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
19		ralnex 2992	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))
20	18, 19	syl6bb 276	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
21	20	anbi2d 740	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
22	21	3adant2 1080	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
23	4, 22	bitr4d 271	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  lecple 15948  ltcplt 16941   ⋖ ccvr 34549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-plt 16958  df-covers 34553

This theorem is referenced by:  isat3  34594  cvlcvr1  34626