Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | relcnv 5503 |
. . . . . . . . . 10
⊢ Rel ◡dom 𝐹 |
2 | | dmtpos 7364 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (Rel dom
𝐹 → dom tpos 𝐹 = ◡dom 𝐹) |
3 | 2 | releqd 5203 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Rel dom
𝐹 → (Rel dom tpos
𝐹 ↔ Rel ◡dom 𝐹)) |
4 | 1, 3 | mpbiri 248 |
. . . . . . . . 9
⊢ (Rel dom
𝐹 → Rel dom tpos 𝐹) |
5 | | reltpos 7357 |
. . . . . . . . 9
⊢ Rel tpos
𝐹 |
6 | 4, 5 | jctil 560 |
. . . . . . . 8
⊢ (Rel dom
𝐹 → (Rel tpos 𝐹 ∧ Rel dom tpos 𝐹)) |
7 | | relrelss 5659 |
. . . . . . . 8
⊢ ((Rel
tpos 𝐹 ∧ Rel dom tpos
𝐹) ↔ tpos 𝐹 ⊆ ((V × V) ×
V)) |
8 | 6, 7 | sylib 208 |
. . . . . . 7
⊢ (Rel dom
𝐹 → tpos 𝐹 ⊆ ((V × V) ×
V)) |
9 | 8 | sseld 3602 |
. . . . . 6
⊢ (Rel dom
𝐹 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 → 𝑤 ∈ ((V × V) ×
V))) |
10 | | elvvv 5178 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 ∈ ((V × V) ×
V) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
11 | 9, 10 | syl6ib 241 |
. . . . 5
⊢ (Rel dom
𝐹 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉)) |
12 | 11 | pm4.71rd 667 |
. . . 4
⊢ (Rel dom
𝐹 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹))) |
13 | | 19.41vvv 1916 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹) ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹)) |
14 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∈ tpos 𝐹)) |
15 | | df-br 4654 |
. . . . . . . . 9
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉tpos 𝐹𝑧 ↔ 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∈ tpos 𝐹) |
16 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑧 ∈ V |
17 | | brtpos 7361 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ V → (〈𝑥, 𝑦〉tpos 𝐹𝑧 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
18 | 16, 17 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉tpos 𝐹𝑧 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧) |
19 | 15, 18 | bitr3i 266 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧) |
20 | 14, 19 | syl6bb 276 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
21 | 20 | pm5.32i 669 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹) ↔ (𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
22 | 21 | 3exbii 1776 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
23 | 13, 22 | bitr3i 266 |
. . . 4
⊢
((∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
24 | 12, 23 | syl6bb 276 |
. . 3
⊢ (Rel dom
𝐹 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧))) |
25 | 24 | abbi2dv 2742 |
. 2
⊢ (Rel dom
𝐹 → tpos 𝐹 = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)}) |
26 | | df-oprab 6654 |
. 2
⊢
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)} |
27 | 25, 26 | syl6eqr 2674 |
1
⊢ (Rel dom
𝐹 → tpos 𝐹 = {〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧}) |