Theorem eluzd 39635

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
eluzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
eluzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
eluzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
eluzd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem eluzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4		eluz2 11693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	1, 2, 3, 4	syl3anbrc 1246	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	5, 6	syl6eleqr 2712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  uzublem  39657  uzinico  39787  uzubioo  39794  limsupubuzlem  39944  limsupequzlem  39954  limsupmnfuzlem  39958  limsupequzmptlem  39960  limsupre3uzlem  39967  supcnvlimsup  39972  limsup10exlem  40004  smflimsuplem4  41029  smfliminflem  41036