Theorem eluz2 11693

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11692	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 1061	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 11691	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 525	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 268	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 1042	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	syl6bbr 278	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 368	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  eluzmn  11694  eluzuzle  11696  eluzelz  11697  eluzle  11700  uztrn  11704  eluzp1p1  11713  uzm1  11718  uznn0sub  11719  uz3m2nn  11731  1eluzge0  11732  2eluzge1  11734  raluz2  11737  rexuz2  11739  peano2uz  11741  nn0pzuz  11745  uzind4  11746  uzinfi  11768  zsupss  11777  nn01to3  11781  nn0ge2m1nnALT  11782  elfzuzb  12336  uzsubsubfz  12363  ssfzunsnext  12386  ssfzunsn  12387  ige2m1fz  12430  4fvwrd4  12459  elfzo2  12473  elfzouz2  12484  fzossrbm1  12497  fzossfzop1  12545  ssfzo12bi  12563  elfzonelfzo  12570  elfzomelpfzo  12572  fzosplitprm1  12578  fzostep1  12584  fzind2  12586  flword2  12614  fldiv4p1lem1div2  12636  uzsup  12662  modaddmodup  12733  fzsdom2  13215  swrdtrcfv0  13442  swrdsbslen  13448  swrdspsleq  13449  swrdtrcfvl  13450  swrdccatin12lem2a  13485  cshwidxmod  13549  rexuzre  14092  limsupgre  14212  rlimclim1  14276  rlimclim  14277  climrlim2  14278  isercolllem1  14395  isercoll  14398  climcndslem1  14581  fallfacval4  14774  oddge22np1  15073  nn0o  15099  bitsmod  15158  smueqlem  15212  dvdsnprmd  15403  prmgt1  15409  oddprmgt2  15411  oddprmge3  15412  modprm0  15510  prm23ge5  15520  vdwlem9  15693  prmgaplem3  15757  prmgaplem5  15759  prmgaplem6  15760  prmgaplem7  15761  setsstruct  15898  strlemor1OLD  15969  strleun  15972  fislw  18040  efgsp1  18150  efgredleme  18156  lt6abl  18296  telgsumfzs  18386  ablfac1eu  18472  znidomb  19910  chfacfscmul0  20663  chfacfscmulfsupp  20664  chfacfpmmul0  20667  chfacfpmmulfsupp  20668  dvfsumlem1  23789  dvfsumlem3  23791  plyaddlem1  23969  coeidlem  23993  ppisval  24830  chtdif  24884  ppidif  24889  ppiublem1  24927  ppiub  24929  chtub  24937  lgsdilem2  25058  gausslemma2dlem2  25092  gausslemma2dlem4  25094  gausslemma2dlem5  25096  gausslemma2dlem6  25097  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem3  25107  2lgslem1  25119  chebbnd1lem1  25158  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  dchrisumlem2  25179  dchrvmasumiflem1  25190  mulog2sumlem2  25224  logdivbnd  25245  pntlemg  25287  pntlemq  25290  pntlemf  25294  axlowdim  25841  pthdlem1  26662  crctcshwlkn0lem3  26704  crctcshwlkn0lem4  26705  crctcshwlkn0lem5  26706  crctcshwlkn0lem6  26707  wwlksm1edg  26767  wwlksnred  26787  clwlkclwwlklem2fv1  26896  clwlkclwwlklem2  26901  clwwlkinwwlk  26905  clwwlksf  26915  clwwlksext2edg  26923  wwlksubclwwlks  26925  clwwisshclwwslem  26927  clwlksfclwwlk  26962  numclwlk1lem2f1  27227  frgrreggt1  27251  ssnnssfz  29549  ballotlemsdom  30573  ballotlemsel1i  30574  ballotlemfrceq  30590  signstfvc  30651  signstfveq0  30654  prodfzo03  30681  erdszelem8  31180  climuzcnv  31565  poimirlem6  33415  fdc  33541  eldioph2lem1  37323  hbt  37700  ssinc  39264  ssdec  39265  monoords  39511  fzdifsuc2  39525  eluzd  39635  fmul01lt1lem2  39817  sumnnodd  39862  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnmul  40158  dvnprodlem2  40162  itgspltprt  40195  stoweidlem11  40228  stoweidlem26  40243  wallispilem4  40285  fourierdlem12  40336  fourierdlem20  40344  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem50  40373  fourierdlem54  40377  fourierdlem79  40402  fourierdlem102  40425  fourierdlem111  40434  fourierdlem114  40437  etransclem23  40474  etransclem48  40499  caratheodorylem1  40740  smfmullem4  41001  eluzge0nn0  41322  ssfz12  41324  elfzlble  41330  fzopredsuc  41333  fzoopth  41337  iccpartipre  41357  iccpartiltu  41358  iccpartgt  41363  pfxtrcfv0  41402  pfxtrcfvl  41405  fmtnoge3  41442  odz2prm2pw  41475  fmtnoprmfac2lem1  41478  fmtno4prmfac  41484  31prm  41512  lighneallem4b  41526  gbegt5  41649  gbowgt5  41650  sbgoldbm  41672  mogoldbb  41673  sbgoldbo  41675  nnsum3primesle9  41682  nnsum4primesodd  41684  nnsum4primesoddALTV  41685  evengpop3  41686  evengpoap3  41687  nnsum4primeseven  41688  nnsum4primesevenALTV  41689  wtgoldbnnsum4prm  41690  bgoldbnnsum3prm  41692  bgoldbtbndlem3  41695  tgblthelfgott  41703  tgblthelfgottOLD  41709  cznnring  41956  ssnn0ssfz  42127  elfzolborelfzop1  42309  m1modmmod  42316  rege1logbzge0  42353  fllog2  42362  nnolog2flm1  42384  dignn0ldlem  42396