Theorem elxp 5131

Description: Membership in a Cartesian product. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elxp	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 5120	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐶) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)}
2	1	eleq2i 2693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ 𝐴 ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)})
3		elopab 4983	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)} ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
4	2, 3	bitri 264	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183  {copab 4712   × cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120

This theorem is referenced by:  elxp2  5132  elxp2OLD  5133  0nelxp  5143  0nelxpOLD  5144  0nelelxp  5145  rabxp  5154  elxp3  5169  elvv  5177  elvvv  5178  0xp  5199  dfres3  5403  xpdifid  5562  dfco2a  5635  elsnxp  5677  elsnxpOLD  5678  tpres  6466  elxp4  7110  elxp5  7111  opabex3d  7145  opabex3  7146  xp1st  7198  xp2nd  7199  poxp  7289  soxp  7290  xpsnen  8044  xpcomco  8050  xpassen  8054  dfac5lem1  8946  dfac5lem4  8949  axdc4lem  9277  fsum2dlem  14501  fprod2dlem  14710  numclwlk1lem2fo  27228  elima4  31679  brcart  32039  brimg  32044  dibelval3  36436