numclwlk1lem2fo - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwlk1lem2fo 27228

Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

**Assertion**
Ref	Expression
numclwlk1lem2fo	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑢,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣,𝑤 𝑛,𝑋,𝑢,𝑣,𝑤 𝑤,𝐹 𝑢,𝐶 𝑢,𝐹 𝑢,𝑉 𝑢,𝑇 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑇(𝑤,𝑣,𝑛) 𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2fo Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑝 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4		numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	numclwlk1lem2f 27225	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6		elxp 5131	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
7	1, 2, 3	numclwlk1lem2foa 27224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
8	7	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
10	9	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
13	12	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
14	1, 2, 3, 4	numclwlk1lem2fv 27226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
16	15	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
17	13, 16	sylan9bbr 737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18		simprll 802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	1	nbgrisvtx 26255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
20	19	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝑉))
21	20	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝑉))
22		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐺 ∈ USGraph )
23		uz3m2nn 11731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
24	23	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
25		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
27	2, 1, 26	numclwwlkovfel2 27216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
28	22, 24, 25, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
29		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
30	28, 29	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
31		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
32		s1cl 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
36		s1cl 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
38		ccatass 13371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
40	31, 35, 37, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
41		ccatcl 13359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
42	34, 36, 41	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
43		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑎) = (𝑁 − 2))
44	43	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
47		swrdccatid 13497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
48	31, 42, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
49	40, 48	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
50		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V
51		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1))
53		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
54		ccatcl 13359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
55	53, 33, 54	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
56		lswccats1 13411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
57	55, 56	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
58		ccatlen 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
59	55, 36, 58	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
60	53, 33	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
62		ccatlen 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
64		s1len 13385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1)
66	63, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)) = (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1))
67		s1len 13385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1)
69	43, 68	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) = ((𝑁 − 2) + 1))
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = (((𝑁 − 2) + 1) + 1))
71		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
73		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
74	72, 73	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
75		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
76	74, 75, 75	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + (1 + 1)))
77		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (1 + 1) = 2
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 + 1) = 2)
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (1 + 1)) = ((𝑁 − 2) + 2))
80	76, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
81	71, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
82		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
83	71, 82	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
84	81, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
87	70, 86	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
89	59, 66, 88	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑁)
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
91	90	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
92	52, 57, 91	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
93	49, 92	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
94	93	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
95	94	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
97	96	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
98	97	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
99	30, 98	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
100	99	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
101	21, 100	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
102	101	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
103	102	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
105	104	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
107	18, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
108	11, 17, 107	rspcedvd 3317	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
109	10, 108	mpancom 703	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
110	109	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
111	110	exlimivv 1860	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
112	6, 111	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
113	112	impcom 446	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
114	113	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
115		dffo3 6374	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
116	5, 114, 115	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∃wex 1704 ∈ wcel 1990 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 {crab 2916 Vcvv 3200 {cpr 4179 ⟨cop 4183 ↦ cmpt 4729 × cxp 5112 ⟶wf 5884 –onto→wfo 5886 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ↦ cmpt2 6652 ℂcc 9934 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 − cmin 10266 ℕcn 11020 2c2 11070 3c3 11071 ℤ_≥cuz 11687 ..^cfzo 12465 #chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 ++ cconcat 13293 ⟨“cs1 13294 substr csubstr 13295 Vtxcvtx 25874 Edgcedg 25939 USGraph cusgr 26044 NeighbVtx cnbgr 26224 ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-concat 13301 df-s1 13302 df-substr 13303 df-edg 25940 df-upgr 25977 df-umgr 25978 df-usgr 26046 df-nbgr 26228 df-wwlks 26722 df-wwlksn 26723 df-clwwlks 26877 df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by: numclwlk1lem2f1o 27229

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