Theorem en2 8196

Description: A set equinumerous to ordinal 2 is a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en2	⊢ (𝐴 ≈ 2𝑜 → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7719	. 2 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		df-2o 7561	. 2 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
3		en1 8023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
4	3	biimpi 206	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜 → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
5		df-pr 4180	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
6	5	enp1ilem 8194	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
7	6	eximdv 1846	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
8	1, 2, 4, 7	enp1i 8195	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2𝑜 → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   ≈ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  en3  8197  hash2pr  13251  pmtrrn2  17880