Theorem pmtrrn2 17880

Description: For any transposition there are two points it is transposing. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrrn2	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem pmtrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 17878	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5	4	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
6	5	simp3d 1075	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
7		en2 8196	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → ∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦})
9	5	simp2d 1074	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
10	4	simprd 479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
11	9, 6, 10	jca32 558	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))))
12		sseq1 3626	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷))
13		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ↔ {𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜))
14		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))
15	14	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → (𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ↔ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
16	13, 15	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
17	12, 16	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
18	11, 17	syl5ibcom 235	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
19		vex 3203	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		vex 3203	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	19, 20	prss 4351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
22	21	bicomi 214	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷))
23		pr2ne 8828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
24	19, 20, 23	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
25	24	anbi1i 731	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
26	22, 25	anbi12i 733	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ({𝑥, 𝑦} ≈ 2𝑜 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
27	18, 26	syl6ib 241	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
28	27	2eximdv 1848	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (∃𝑥∃𝑦dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥, 𝑦} → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))))
29	8, 28	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
30		r2ex 3061	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}))))
31	29, 30	sylibr 224	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝐹 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {cpr 4179   class class class wbr 4653   I cid 5023  dom cdm 5114  ran crn 5115  ‘cfv 5888  2_𝑜c2o 7554   ≈ cen 7952  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  mdetunilem7  20424