Theorem fbelss 21637

Description: An element of the filter base is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbelss	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem fbelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbsspw 21636	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵)
2	1	sselda 3603	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐵)
3	2	elpwid 4170	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  ‘cfv 5888  fBascfbas 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-fbas 19743

This theorem is referenced by:  fbdmn0  21638  filelss  21656  ssfg  21676  fgcl  21682  fbasrn  21688  fmfnfmlem4  21761  fmfnfm  21762  fmucnd  22096  cfilucfil  22364  fmcfil  23070