Theorem filelss 21656

Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filelss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem filelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 21652	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbelss 21637	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylan 488	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  fBascfbas 19734  Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-fbas 19743  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  filin  21658  filtop  21659  filuni  21689  trfil2  21691  trfil3  21692  fgtr  21694  trfg  21695  ufilmax  21711  isufil2  21712  ufileu  21723  filufint  21724  cfinufil  21732  ufilen  21734  rnelfm  21757  fmfnfmlem4  21761  fmid  21764  flimclsi  21782  flimrest  21787  txflf  21810  fclsopn  21818  fclsrest  21828  flimfnfcls  21832  fclscmpi  21833  iscfil2  23064  cfil3i  23067  iscmet3lem2  23090  iscmet3  23091  cfilresi  23093  cfilres  23094  filnetlem3  32375