Theorem ixxss12 12195

Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
ixxss12.2	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
ixxss12.3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
ixxss12.4	⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ixxss12	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixxss12.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
2	1	elixx3g 12188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷)))
3	2	simplbi 476	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
4	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1075	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6		simplrl 800	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑊𝐶)
7	2	simprbi 480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷))
8	7	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷))
9	8	simpld 475	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶𝑇𝑤)
10		simplll 798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	4	simp1d 1073	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		ixxss12.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
13	10, 11, 5, 12	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
14	6, 9, 13	mp2and 715	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑅𝑤)
15	8	simprd 479	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑈𝐷)
16		simplrr 801	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷𝑋𝐵)
17	4	simp2d 1074	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
18		simpllr 799	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19		ixxss12.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
20	5, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
21	15, 16, 20	mp2and 715	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑆𝐵)
22		ixx.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
23	22	elixx1 12184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
24	23	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
25	5, 14, 21, 24	mpbir3and 1245	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
26	25	ex 450	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)))
27	26	ssrdv 3609	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ℝ^*cxr 10073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-xr 10078

This theorem is referenced by:  iccss  12241  iccssioo  12242  icossico  12243  iccss2  12244  iccssico  12245  iocssioo  12263  icossioo  12264  ioossioo  12265