Theorem lhpexle3lem 35297

Description: There exists atom under a co-atom different from any 3 other atoms. TODO: study if adant*,simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle3lem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle2 35296	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
7		simp31 1097	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
8		simp32 1098	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
9		simp1r 1086	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
10	8, 9	neeqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑌)
11		simp33 1099	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
12	8, 10, 11	3jca 1242	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
13	7, 12	jca 554	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
14	13	3exp 1264	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))))
15	14	reximdvai 3015	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))))
16	6, 15	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
17		simprrr 805	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≤ 𝑊)
18		simp11l 1172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
20		hllat 34650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
23	22, 3	atbase 34576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
24	23	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
25		simp121 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27	22, 3	atbase 34576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
29		simp122 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
31	22, 3	atbase 34576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
33		simprrl 804	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
34		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
35	22, 2, 34	latnlej1l 17069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
36	21, 24, 28, 32, 33, 35	syl131anc 1339	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑋)
37	22, 2, 34	latnlej1r 17070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑌)
38	21, 24, 28, 32, 33, 37	syl131anc 1339	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑌)
39		simpl3 1066	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
40		nbrne2 4673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑝)
41	40	necomd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
42	39, 33, 41	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑍)
43	36, 38, 42	3jca 1242	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
44	17, 43	jca 554	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
45		simp11 1091	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		simp131 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
47		simp132 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
48		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
49	2, 48, 34, 3, 4	lhp2lt 35287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
50	45, 25, 46, 29, 47, 49	syl122anc 1335	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
51	22, 34, 3	hlatjcl 34653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
52	18, 25, 29, 51	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
53		simp11r 1173	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
54	22, 4	lhpbase 35284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
56	22, 2, 48, 3	hlrelat1 34686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)))
57	18, 52, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)))
58	50, 57	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))
59	44, 58	reximddv 3018	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
60	59	3expa 1265	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
61		simp11l 1172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
62	61	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
63	62, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
64	23	ad2antrl 764	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
65		simp121 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
66	65	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
67		simp122 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
68	67	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
69	62, 66, 68, 51	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
70		simp11r 1173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
71	70	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
72	71, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
73		simprr3 1111	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
74		simp131 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
75	74	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ≤ 𝑊)
76		simp132 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
77	76	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ≤ 𝑊)
78	66, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
79	68, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
80	22, 2, 34	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊))
81	63, 78, 79, 72, 80	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ((𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊))
82	75, 77, 81	mpbi2and 956	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊)
83	22, 2, 63, 64, 69, 72, 73, 82	lattrd 17058	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≤ 𝑊)
84		simprr1 1109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑋)
85		simprr2 1110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑌)
86		simpl3 1066	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
87		nbrne2 4673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
88	73, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑍)
89	84, 85, 88	3jca 1242	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
90	83, 89	jca 554	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
91		simp2 1062	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
92	2, 34, 3	hlsupr 34672	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
93	61, 65, 67, 91, 92	syl31anc 1329	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
94	90, 93	reximddv 3018	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
95	94	3expa 1265	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
96	60, 95	pm2.61dan 832	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
97	16, 96	pm2.61dane 2881	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  lecple 15948  ltcplt 16941  joincjn 16944  Latclat 17045  Atomscatm 34550  HLchlt 34637  LHypclh 35270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lhyp 35274

This theorem is referenced by:  lhpexle3  35298