Theorem mapprop 42124

Description: An unordered pair containing two ordered pairs as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapprop.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
mapprop	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem mapprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ 𝑉)
3	1, 2	anim12i 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
4	3	3adant3 1081	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
5		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ 𝑅)
6		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝑅)
7	5, 6	anim12i 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅)) → (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅))
8	7	3adant3 1081	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅))
9		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑋 ≠ 𝑌)
10	9	3ad2ant3 1084	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
11		fprg 6422	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
12	4, 8, 10, 11	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
13		mapprop.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
14	13	feq1i 6036	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
15	12, 14	sylibr 224	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
16		prssi 4353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
18	17	3adant3 1081	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
19	15, 18	fssd 6057	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅)
20		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑊)
21	20	3ad2ant3 1084	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝑅 ∈ 𝑊)
22		prex 4909	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
23		elmapg 7870	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
24	21, 22, 23	sylancl 694	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
25	19, 24	mpbird 247	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {cpr 4179  ⟨cop 4183  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859

This theorem is referenced by:  lincvalpr  42207  ldepspr  42262