Theorem metres2 22168

Description: Lemma for metres 22170. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Proof of Theorem metres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 22139	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetres2 22166	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
3	1, 2	sylan 488	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
4		metf 22135	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
6		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝑅 ⊆ 𝑋)
7		xpss12 5225	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	6, 7	sylancom 701	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
9	5, 8	fssresd 6071	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ)
10		ismet2 22138	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅) ∧ (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ))
11	3, 9, 10	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574   × cxp 5112   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  ℝcr 9935  ∞Metcxmt 19731  Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-i2m1 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-xadd 11947  df-xmet 19739  df-met 19740

This theorem is referenced by:  metres  22170  xpsmet  22187  tmsms  22292  imasf1oms  22295  prdsms  22336  remet  22593  lebnumii  22765  cmetss  23113  sstotbnd2  33573  bndss  33585  equivbnd2  33591  rrnheibor  33636  iccbnd  33639