Theorem numinfctb 37673

Description: A numerable infinite set contains a countable subset. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numinfctb	⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)

Proof of Theorem numinfctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8543	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
2		onenon 8775	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ∈ dom card
4		domtri2 8815	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ dom card ∧ 𝑆 ∈ dom card) → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω))
5	3, 4	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω))
6		isfinite 8549	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ↔ 𝑆 ≺ ω)
7	6	notbii 310	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω)
8	5, 7	syl6bbr 278	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ∈ Fin))
9	8	biimpar 502	1 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  Oncon0 5723  ωcom 7065   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954  Fincfn 7955  cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  37675