Theorem oaword2 7633

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Theorem 21 of [Suppes] p. 209. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +𝑜 𝐴))

Proof of Theorem oaword2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3972	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		0elon 5778	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
3		oawordri 7630	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐵 +𝑜 𝐴)))
4	2, 3	mp3an1 1411	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐵 +𝑜 𝐴)))
5		oa0r 7618	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ +𝑜 𝐴) = 𝐴)
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ +𝑜 𝐴) = 𝐴)
7	6	sseq1d 3632	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((∅ +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐵 +𝑜 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 +𝑜 𝐴)))
8	4, 7	sylibd 229	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ (𝐵 +𝑜 𝐴)))
9	1, 8	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +𝑜 𝐴))
10	9	ancoms 469	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐵 +𝑜 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  Oncon0 5723  (class class class)co 6650   +_𝑜 coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  oawordeulem  7634  nnarcl  7696  oaabslem  7723  oaabs2  7725  cantnfle  8568