Theorem paddss12 35105

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss12 3785 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss12	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem paddss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		simpl2 1065	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
3		sstr 3611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ⊆ 𝑊 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
4	3	ancoms 469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
5	4	ad2ant2l 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
6	5	3adantl1 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	1, 2, 6	3jca 1242	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
8		simprl 794	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
9		padd0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		padd0.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	9, 10	paddss1 35103	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
12	7, 8, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
13	9, 10	paddss2 35104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑍 ⊆ 𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
14	13	3com23 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → (𝑍 ⊆ 𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
15	14	imp 445	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
16	15	adantrl 752	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
17	12, 16	sstrd 3613	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
18	17	ex 450	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Atomscatm 34550  +_𝑃cpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  paddssw1  35129  paddunN  35213  pl42lem2N  35266