Theorem pl42lem2N 35266

Description: Lemma for pl42N 35269. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))

Proof of Theorem pl42lem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 34650	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl2 1065	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simpl3 1066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		pl42lem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		pl42lem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	6, 7	latjcl 17051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
11		pl42lem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
12	6, 10, 11	pmapssat 35045	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13	1, 9, 12	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14		simpr2 1068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15	6, 7	latjcl 17051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	3, 4, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
17		simpr3 1069	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
18	6, 7	latjcl 17051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵)
19	3, 5, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵)
20		pl42lem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 20	latmcl 17052	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵)
22	3, 16, 19, 21	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵)
23	6, 10, 11	pmapssat 35045	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
24	1, 22, 23	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
25	1, 13, 24	3jca 1242	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
26		pl42lem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
27	6, 7, 11, 26	pmapjoin 35138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
28	3, 4, 5, 27	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
29	6, 7, 11, 26	pmapjoin 35138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)))
30	3, 4, 14, 29	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)))
31	6, 7, 11, 26	pmapjoin 35138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉)))
32	3, 5, 17, 31	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉)))
33		ss2in 3840	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∧ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
34	30, 32, 33	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
35	6, 20, 10, 11	pmapmeet 35059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
36	1, 16, 19, 35	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 ∨ 𝑉))))
37	34, 36	sseqtr4d 3642	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))
38	28, 37	jca 554	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
39	10, 26	paddss12 35105	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))
40	25, 38, 39	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
41	6, 7, 11, 26	pmapjoin 35138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
42	3, 9, 22, 41	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
43	40, 42	sstrd 3613	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  lecple 15948  occoc 15949  joincjn 16944  meetcmee 16945  Latclat 17045  Atomscatm 34550  HLchlt 34637  pmapcpmap 34783  +_𝑃cpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-clat 17108  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-pmap 34790  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  pl42lem4N  35268