Theorem latmcl 17052

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 3805 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 17049	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 479	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  joincjn 16944  meetcmee 16945  Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latleeqm1  17079  latmlem1  17081  latmlem12  17083  latnlemlt  17084  latmidm  17086  latabs1  17087  latledi  17089  latmlej11  17090  mod1ile  17105  mod2ile  17106  latdisdlem  17189  oldmm1  34504  oldmj1  34508  latmrot  34519  latm4  34520  olm01  34523  omllaw4  34533  cmtcomlemN  34535  cmt2N  34537  cmtbr2N  34540  cmtbr3N  34541  cmtbr4N  34542  lecmtN  34543  omlfh1N  34545  omlfh3N  34546  meetat  34583  atnle  34604  atlatmstc  34606  hlrelat2  34689  cvrval5  34701  cvrexchlem  34705  cvrexch  34706  cvrat3  34728  cvrat4  34729  ps-2b  34768  2llnmat  34810  2atm  34813  llnmlplnN  34825  2lplnmN  34845  2llnmj  34846  2llnm2N  34854  2llnm4  34856  2lplnm2N  34907  2lplnmj  34908  dalemcea  34946  dalem16  34965  dalem21  34980  dalem54  35012  dalem55  35013  2lnat  35070  2atm2atN  35071  cdlema1N  35077  hlmod1i  35142  atmod1i1m  35144  atmod2i1  35147  atmod2i2  35148  llnmod2i2  35149  atmod4i1  35152  atmod4i2  35153  llnexchb2lem  35154  dalawlem1  35157  dalawlem2  35158  dalawlem3  35159  dalawlem4  35160  dalawlem5  35161  dalawlem6  35162  dalawlem7  35163  dalawlem8  35164  dalawlem9  35165  dalawlem11  35167  dalawlem12  35168  pmapj2N  35215  psubclinN  35234  poml4N  35239  pl42lem1N  35265  pl42lem2N  35266  pl42N  35269  lhpmcvr3  35311  lhpmcvr4N  35312  lhpmcvr5N  35313  lhpmcvr6N  35314  lhpelim  35323  lhpmod2i2  35324  lhpmod6i1  35325  lhprelat3N  35326  lautm  35380  trlval2  35450  trlcl  35451  trlval3  35474  cdlemc1  35478  cdlemc2  35479  cdlemc4  35481  cdlemc5  35482  cdlemc6  35483  cdlemd2  35486  cdleme0aa  35497  cdleme1b  35513  cdleme1  35514  cdleme2  35515  cdleme3b  35516  cdleme3h  35522  cdleme4a  35526  cdleme5  35527  cdleme7e  35534  cdleme7ga  35535  cdleme9b  35539  cdleme11g  35552  cdleme15d  35564  cdleme15  35565  cdleme16b  35566  cdleme16e  35569  cdleme16f  35570  cdleme22gb  35581  cdlemedb  35584  cdleme20j  35606  cdleme22cN  35630  cdleme22e  35632  cdleme22eALTN  35633  cdleme22f  35634  cdleme23a  35637  cdleme23b  35638  cdleme23c  35639  cdleme28a  35658  cdleme28b  35659  cdleme29ex  35662  cdleme30a  35666  cdlemefr29exN  35690  cdleme32c  35731  cdleme32e  35733  cdleme35b  35738  cdleme35c  35739  cdleme35d  35740  cdleme42c  35760  cdleme42h  35770  cdleme42i  35771  cdleme48bw  35790  cdlemg7fvbwN  35895  cdlemg10bALTN  35924  cdlemg10  35929  cdlemg11b  35930  cdlemg12f  35936  cdlemg12g  35937  cdlemg17a  35949  trlcolem  36014  cdlemkvcl  36130  cdlemk5u  36149  cdlemk37  36202  cdlemk52  36242  dia2dimlem2  36354  docaclN  36413  doca2N  36415  djajN  36426  cdlemn10  36495  dihjustlem  36505  dihord1  36507  dihord2a  36508  dihord2b  36509  dihord2cN  36510  dihord11b  36511  dihord11c  36513  dihord2pre  36514  dihord2pre2  36515  dihlsscpre  36523  dihvalcq2  36536  dihopelvalcpre  36537  dihord6apre  36545  dihord5b  36548  dihord5apre  36551  dihmeetlem1N  36579  dihglblem5apreN  36580  dihglblem2aN  36582  dihglblem2N  36583  dihmeetlem2N  36588  dihglbcpreN  36589  dihmeetbclemN  36593  dihmeetlem3N  36594  dihmeetlem4preN  36595  dihmeetlem6  36598  dihmeetlem7N  36599  dihjatc1  36600  dihjatc2N  36601  dihjatc3  36602  dihmeetlem9N  36604  dihmeetlem16N  36611  dihmeetlem19N  36614  dihmeetcl  36634  dihmeet2  36635  djhlj  36690  dihjatcclem1  36707  dihjatcclem2  36708  dihjatcclem4  36710