Theorem pmtrprfv2 29848

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrprfv2.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv2	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem pmtrprfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4267	. . . 4 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {𝑋, 𝑌}
2	1	fveq2i 6194	. . 3 ⊢ (𝑇‘{𝑌, 𝑋}) = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
3	2	fveq1i 6192	. 2 ⊢ ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌)
4		ancom 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
5		necom 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ 𝑋)
6	4, 5	anbi12i 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
7		df-3an 1039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
8		df-3an 1039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
9	6, 7, 8	3bitr4i 292	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
10	9	biimpi 206	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
11	10	anim2i 593	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋)))
12		pmtrprfv2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
13	12	pmtrprfv 17873	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
15	3, 14	syl5eqr 2670	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {cpr 4179  ‘cfv 5888  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  psgnfzto1stlem  29850  pmtridfv2  29858