Theorem sspgval 27584

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspg.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspg.g	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
sspg.f	⊢ 𝐹 = ( +𝑣 ‘𝑊)
sspg.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspgval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐴𝐺𝐵))

Proof of Theorem sspgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspg.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		sspg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		sspg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ( +𝑣 ‘𝑊)
4		sspg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	sspg 27583	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = (𝐺 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
6	5	oveqd 6667	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐴(𝐺 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝐵))
7		ovres 6800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝐺 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝐵) = (𝐴𝐺𝐵))
8	6, 7	sylan9eq 2676	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐴𝐺𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   × cxp 5112   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  NrmCVeccnv 27439   +_𝑣 cpv 27440  BaseSetcba 27441  SubSpcss 27576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-ssp 27577

This theorem is referenced by:  sspmval  27588  sspph  27710  minvecolem2  27731  hhshsslem2  28125