Theorem toponmre 20897

Description: The topologies over a given base set form a Moore collection: the intersection of any family of them is a topology, including the empty (relative) intersection which gives the discrete topology distop 20799. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmre	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))

Proof of Theorem toponmre

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 20719	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝑏)
2		eqimss2 3658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝑏 → ∪ 𝑏 ⊆ 𝐵)
3		sspwuni 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∪ 𝑏 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∪ 𝑏 → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
6		selpw 4165	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
7	5, 6	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
8	7	ssriv 3607	. . 3 ⊢ (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵)
10		distopon 20801	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ (TopOn‘𝐵))
11		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
12	11	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
13	12	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
14		topontop 20718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑥 ∈ Top)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ Top)
16		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏)
17		intss1 4492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑏 → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑥)
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑥)
19	16, 18	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ 𝑥)
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ 𝑥)
21		uniopn 20702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Top ∧ 𝑐 ⊆ 𝑥) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
22	15, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
23	22	expr 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ 𝑥))
24	23	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ 𝑏 ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
25		vuniex 6954	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑐 ∈ V
26	25	elint2 4482	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑏 ∪ 𝑐 ∈ 𝑥)
27	24, 26	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ⊆ ∩ 𝑏) → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏)
28	27	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏))
29	28	alrimiv 1855	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏))
30		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
31	30	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵))
32		topontop 20718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑦 ∈ Top)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ Top)
34		intss1 4492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑏 → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑦)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → ∩ 𝑏 ⊆ 𝑦)
36		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ ∩ 𝑏)
37	35, 36	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑦)
38		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)
39	35, 38	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → 𝑥 ∈ 𝑦)
40		inopn 20704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Top ∧ 𝑐 ∈ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
41	33, 37, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
42	41	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
43		vex 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑐 ∈ V
44	43	inex1 4799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ V
45	44	elint2 4482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ 𝑦)
46	42, 45	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑏)) → (𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)
47	46	ralrimivva 2971	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)
48		intex 4820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑏 ∈ V)
49	48	biimpi 206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ → ∩ 𝑏 ∈ V)
50	49	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ V)
51		istopg 20700	. . . . . 6 ⊢ (∩ 𝑏 ∈ V → (∩ 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)))
52	50, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (∩ 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 ⊆ ∩ 𝑏 → ∪ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏∀𝑥 ∈ ∩ 𝑏(𝑐 ∩ 𝑥) ∈ ∩ 𝑏)))
53	29, 47, 52	mpbir2and 957	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ Top)
54	53	3adant1 1079	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ Top)
55		n0 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
56	55	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
57	56	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏)
58	17	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑥)
59	58	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑥)
60		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑥 → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑥)
63	12	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
64		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝑥)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝐵 = ∪ 𝑥)
66	62, 65	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 ∈ ∩ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ⊆ 𝐵)
67	66	expr 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑏 → 𝑐 ⊆ 𝐵))
68	67	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑏 → 𝑐 ⊆ 𝐵))
69	57, 68	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ ∩ 𝑏) → 𝑐 ⊆ 𝐵)
70	69	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏𝑐 ⊆ 𝐵)
71		unissb 4469	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑐 ∈ ∩ 𝑏𝑐 ⊆ 𝐵)
72	70, 71	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵)
73	72	3adant1 1079	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵)
74	11	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵))
75		toponuni 20719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝑐)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝐵 = ∪ 𝑐)
77		topontop 20718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑐 ∈ Top)
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑐 = ∪ 𝑐
79	78	topopn 20711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ Top → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
80	74, 77, 79	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
81	76, 80	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑐)
82	81	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐)
83	82	3adant1 1079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐)
84		elintg 4483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐))
85	84	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ ∩ 𝑏 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑏 𝐵 ∈ 𝑐))
86	83, 85	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ ∩ 𝑏)
87		unissel 4468	. . . . 5 ⊢ ((∪ ∩ 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ∩ 𝑏) → ∪ ∩ 𝑏 = 𝐵)
88	73, 86, 87	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∪ ∩ 𝑏 = 𝐵)
89	88	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 = ∪ ∩ 𝑏)
90		istopon 20717	. . 3 ⊢ (∩ 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (∩ 𝑏 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ ∩ 𝑏))
91	54, 89, 90	sylanbrc 698	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∩ 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵))
92	9, 10, 91	ismred 16262	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436  ∩ cint 4475  ‘cfv 5888  Moorecmre 16242  Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-mre 16246  df-top 20699  df-topon 20716

This theorem is referenced by:  topmtcl  32358