Theorem wzelOLD 31772

Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) Obsolete version of wzel 31771 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wzelOLD	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzelOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weso 5105	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
2		socnv 31654	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → ◡𝑅 Or 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → ◡𝑅 Or 𝐴)
4	3	3ad2ant1 1082	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ◡𝑅 Or 𝐴)
5		simp1 1061	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
6		simp2 1062	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
7		ssid 3624	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐴)
9		simp3 1063	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10		tz6.26 5711	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
11	5, 6, 8, 9, 10	syl22anc 1327	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
12		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	12	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑦◡𝑅𝑥))
15	14	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦◡𝑅𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)
16	15	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))
17	16	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))
18	13, 17	jctird 567	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	20	elpred 5693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
23	22	notbii 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
24		imnan 438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
25	23, 24	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
26	19, 20	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
27	26	notbii 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
28	27	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))
29	18, 25, 28	3imtr4g 285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
30	29	expr 643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))))
31	30	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))))
32	31	alimdv 1845	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))))
33		eq0 3929	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
34		r19.26 3064	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))
35		df-ral 2917	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
36	34, 35	bitr3i 266	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
37	32, 33, 36	3imtr4g 285	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
38	37	reximdva 3017	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧))))
39	11, 38	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡𝑅𝑧)))
40	4, 39	supcl 8364	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   Se wse 5071   We wwe 5072  ^◡ccnv 5113  Predcpred 5679  supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by: (None)