Theorem eq0 3929

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	eq0f 3925	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196  ∀wal 1481   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  nel0  3932  0el  3939  ssdif0  3942  difin0ss  3946  inssdif0  3947  ralf0  4078  ralf0OLD  4079  disjiun  4640  0ex  4790  reldm0  5343  uzwo  11751  hashgt0elex  13189  hausdiag  21448  rnelfmlem  21756  wzel  31771  wzelOLD  31772  unblimceq0  32498  knoppndv  32525  bj-ab0  32902  bj-nul  33018  bj-nuliota  33019  bj-nuliotaALT  33020  nninfnub  33547  prtlem14  34159  nrhmzr  41873  zrninitoringc  42071