Theorem wzelOLD 31772

Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) Obsolete version of wzel 31771 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wzelOLD	|- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> sup ( A , A , `' R ) e. A )

Proof of Theorem wzelOLD

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weso 5105	. . . 4 |- ( R We A -> R Or A )
2		socnv 31654	. . . 4 |- ( R Or A -> `' R Or A )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( R We A -> `' R Or A )
4	3	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> `' R Or A )
5		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> R We A )
6		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> R Se A )
7		ssid 3624	. . . . 5 |- A C_ A
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> A C_ A )
9		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
10		tz6.26 5711	. . . 4 |- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( A C_ A /\ A =/= (/) ) ) -> E. x e. A Pred ( R , A , x ) = (/) )
11	5, 6, 8, 9, 10	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A Pred ( R , A , x ) = (/) )
12		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> -. y R x ) -> -. y R x ) )
13	12	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( y e. A -> -. y R x ) -> -. y R x ) )
14		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( y `' R z <-> y `' R x ) )
15	14	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ y `' R x ) -> E. z e. A y `' R z )
16	15	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) )
17	16	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) )
18	13, 17	jctird 567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( y e. A -> -. y R x ) -> ( -. y R x /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
20		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
21	20	elpred 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. _V -> ( y e. Pred ( R , A , x ) <-> ( y e. A /\ y R x ) ) )
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Pred ( R , A , x ) <-> ( y e. A /\ y R x ) )
23	22	notbii 310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y e. Pred ( R , A , x ) <-> -. ( y e. A /\ y R x ) )
24		imnan 438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A -> -. y R x ) <-> -. ( y e. A /\ y R x ) )
25	23, 24	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. Pred ( R , A , x ) <-> ( y e. A -> -. y R x ) )
26	19, 20	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( x `' R y <-> y R x )
27	26	notbii 310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x `' R y <-> -. y R x )
28	27	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) <-> ( -. y R x /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) )
29	18, 25, 28	3imtr4g 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( -. y e. Pred ( R , A , x ) -> ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) )
30	29	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( y e. A -> ( -. y e. Pred ( R , A , x ) -> ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) ) )
31	30	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( -. y e. Pred ( R , A , x ) -> ( y e. A -> ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) ) )
32	31	alimdv 1845	. . . . 5 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( A. y -. y e. Pred ( R , A , x ) -> A. y ( y e. A -> ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) ) )
33		eq0 3929	. . . . 5 |- ( Pred ( R , A , x ) = (/) <-> A. y -. y e. Pred ( R , A , x ) )
34		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. y e. A ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) <-> ( A. y e. A -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) )
35		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. y e. A ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) )
36	34, 35	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( A. y e. A -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( -. x `' R y /\ ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) )
37	32, 33, 36	3imtr4g 285	. . . 4 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( Pred ( R , A , x ) = (/) -> ( A. y e. A -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) )
38	37	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A Pred ( R , A , x ) = (/) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) ) )
39	11, 38	mpd 15	. 2 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. A y `' R z ) ) )
40	4, 39	supcl 8364	1 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> sup ( A , A , `' R ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   Se wse 5071   We wwe 5072   `'ccnv 5113   Predcpred 5679   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348

This theorem is referenced by: (None)