Theorem xpnz 5553

Description: The Cartesian product of nonempty classes is nonempty. (Variation of a theorem contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Contributed by NM, 30-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpnz	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem xpnz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 3931	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
3	1, 2	anbi12i 733	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
4		eeanv 2182	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr4i 267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
6		opex 4932	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
7		eleq1 2689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
8		opelxp 5146	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	7, 8	syl6bb 276	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	spcev 3300	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
11		n0 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
12	10, 11	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
13	12	exlimivv 1860	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
14	5, 13	sylbi 207	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
15		xpeq1 5128	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
16		0xp 5199	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
17	15, 16	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
18	17	necon3i 2826	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
19		xpeq2 5129	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
20		xp0 5552	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
21	19, 20	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
22	21	necon3i 2826	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅)
23	18, 22	jca 554	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
24	14, 23	impbii 199	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  ⟨cop 4183   × cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  xpeq0  5554  ssxpb  5568  xp11  5569  unixpid  5670  xpexr2  7107  frxp  7287  xpfir  8182  axcc2lem  9258  axdc4lem  9277  mamufacex  20195  txindis  21437  bj-xpnzex  32946  bj-1upln0  32997  bj-2upln1upl  33012  dibn0  36442