Theorem xp0 5552

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5199	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5297	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 5551	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 5535	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2652	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1483  ∅c0 3915   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  xpnz  5553  xpdisj2  5556  difxp1  5559  dmxpss  5565  rnxpid  5567  xpcan  5570  unixp  5668  fconst5  6471  dfac5lem3  8948  xpcdaen  9005  fpwwe2lem13  9464  comfffval  16358  0ssc  16497  fuchom  16621  xpccofval  16822  frmdplusg  17391  mulgfval  17542  mulgfvi  17545  ga0  17731  symgplusg  17809  efgval  18130  psrplusg  19381  psrvscafval  19390  opsrle  19475  ply1plusgfvi  19612  txindislem  21436  txhaus  21450  0met  22171  aciunf1  29463  mbfmcst  30321  0rrv  30513  mexval  31399  mdvval  31401  mpstval  31432  dfpo2  31645  elima4  31679  finxp00  33239  isbnd3  33583  zrdivrng  33752