Theorem addasspig 6520

Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addasspig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )

Proof of Theorem addasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6499	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 6499	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 6499	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnaass 6087	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1211	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
6		addclpi 6517	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )
7		addpiord 6506	. . . . 5 |- ( ( ( A +N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
8	6, 7	sylan 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
9		addpiord 6506	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
10	9	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
11	10	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
12	8, 11	eqtrd 2113	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
13	12	3impa 1133	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
14		addclpi 6517	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
15		addpiord 6506	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
16	14, 15	sylan2 280	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
17		addpiord 6506	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
18	17	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
19	18	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
20	16, 19	eqtrd 2113	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
21	20	3impb 1134	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2123	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   omcom 4331  (class class class)co 5532   +o coa 6021   N.cnpi 6462   +N cpli 6463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-ni 6494  df-pli 6495

This theorem is referenced by:  addassnqg  6572