Theorem addassnqg 6572

Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Proof of Theorem addassnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6538	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 6560	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 6560	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
4		addpipqqs 6560	. 2 |- ( ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) , ( ( y .N w ) .N u ) >. ] ~Q )
5		addpipqqs 6560	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
6		mulclpi 6518	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7	6	ad2ant2rl 494	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
8		mulclpi 6518	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
9	8	ad2ant2lr 493	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
10		addclpi 6517	. . . 4 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
11	7, 9, 10	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
12		mulclpi 6518	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 491	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
14	11, 13	jca 300	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
15		mulclpi 6518	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
16	15	ad2ant2rl 494	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
17		mulclpi 6518	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
18	17	ad2ant2lr 493	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
19		addclpi 6517	. . . 4 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
20	16, 18, 19	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
21		mulclpi 6518	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
22	21	ad2ant2l 491	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
23	20, 22	jca 300	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
24		simp1l 962	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
25		simp2r 965	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
26		simp3r 967	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
27	25, 26, 21	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
28		mulclpi 6518	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
29	24, 27, 28	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N ( w .N u ) ) e. N. )
30		simp1r 963	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
31		simp2l 964	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32	31, 26, 15	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33		mulclpi 6518	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
34	30, 32, 33	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( z .N u ) ) e. N. )
35		simp3l 966	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
36	25, 35, 17	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
37		mulclpi 6518	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
38	30, 36, 37	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( w .N v ) ) e. N. )
39		addasspig 6520	. . . 4 |- ( ( ( x .N ( w .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( z .N u ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
40	29, 34, 38, 39	syl3anc 1169	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
41		mulcompig 6521	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
42	41	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
43		distrpig 6523	. . . . . . . 8 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
44	43	3coml 1145	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) )
45		addclpi 6517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
46		mulcompig 6521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ ( f +N g ) e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
47	45, 46	sylan2 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( h e. N. /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
48	47	ancoms 264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. N. /\ g e. N. ) /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
49	48	3impa 1133	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N ( f +N g ) ) = ( ( f +N g ) .N h ) )
50		mulcompig 6521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ f e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
51	50	ancoms 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
52	51	3adant2 957	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N f ) = ( f .N h ) )
53		mulcompig 6521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. N. /\ g e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
54	53	ancoms 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
55	54	3adant1 956	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( h .N g ) = ( g .N h ) )
56	52, 55	oveq12d 5550	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( h .N f ) +N ( h .N g ) ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
57	44, 49, 56	3eqtr3d 2121	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
58	57	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f +N g ) .N h ) = ( ( f .N h ) +N ( g .N h ) ) )
59		mulasspig 6522	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
60	59	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
61		mulclpi 6518	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
62	61	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
63	42, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26	caovdilemd 5712	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) )
64		mulasspig 6522	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
65	64	3adant1l 1161	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
66	65	3adant2l 1163	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ v e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
67	66	3adant3r 1166	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N v ) = ( y .N ( w .N v ) ) )
68	63, 67	oveq12d 5550	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( z .N u ) ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
69		distrpig 6523	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
70	30, 32, 36, 69	syl3anc 1169	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) )
71	70	oveq2d 5548	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( ( y .N ( z .N u ) ) +N ( y .N ( w .N v ) ) ) ) )
72	40, 68, 71	3eqtr4d 2123	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) .N u ) +N ( ( y .N w ) .N v ) ) = ( ( x .N ( w .N u ) ) +N ( y .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
73		mulasspig 6522	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
74	73	3adant1l 1161	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
75	74	3adant2l 1163	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
76	75	3adant3l 1165	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N w ) .N u ) = ( y .N ( w .N u ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76	ecoviass 6239	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( A +Q B ) +Q C ) = ( A +Q ( B +Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   N.cnpi 6462   +N cpli 6463   .N cmi 6464   ~Q ceq 6469   Q.cnq 6470   +Q cplq 6472

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-plpq 6534  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539

This theorem is referenced by:  ltaddnq  6597  addlocprlemeqgt  6722  addassprg  6769  ltexprlemloc  6797  ltexprlemrl  6800  ltexprlemru  6802  addcanprleml  6804  addcanprlemu  6805  cauappcvgprlemdisj  6841  cauappcvgprlemloc  6842  cauappcvgprlemladdfl  6845  cauappcvgprlemladdru  6846  cauappcvgprlemladdrl  6847  cauappcvgprlem1  6849  caucvgprlemloc  6865  caucvgprlemladdrl  6868  caucvgprprlemloccalc  6874