Theorem aptipr 6831

Description: Apartness of positive reals is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
aptipr	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> A = B )

Proof of Theorem aptipr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 938	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> A e. P. )
2		simp2 939	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> B e. P. )
3		ioran 701	. . . . . . 7 |- ( -. ( A <P B \/ B <P A ) <-> ( -. A <P B /\ -. B <P A ) )
4	3	biimpi 118	. . . . . 6 |- ( -. ( A <P B \/ B <P A ) -> ( -. A <P B /\ -. B <P A ) )
5	4	3ad2ant3 961	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( -. A <P B /\ -. B <P A ) )
6	5	simprd 112	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> -. B <P A )
7		aptiprleml 6829	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. B <P A ) -> ( 1st ` A ) C_ ( 1st ` B ) )
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1169	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 1st ` A ) C_ ( 1st ` B ) )
9	5	simpld 110	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> -. A <P B )
10		aptiprleml 6829	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. /\ -. A <P B ) -> ( 1st ` B ) C_ ( 1st ` A ) )
11	2, 1, 9, 10	syl3anc 1169	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 1st ` B ) C_ ( 1st ` A ) )
12	8, 11	eqssd 3016	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 1st ` A ) = ( 1st ` B ) )
13		aptiprlemu 6830	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. /\ -. A <P B ) -> ( 2nd ` A ) C_ ( 2nd ` B ) )
14	2, 1, 9, 13	syl3anc 1169	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 2nd ` A ) C_ ( 2nd ` B ) )
15		aptiprlemu 6830	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. B <P A ) -> ( 2nd ` B ) C_ ( 2nd ` A ) )
16	1, 2, 6, 15	syl3anc 1169	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 2nd ` B ) C_ ( 2nd ` A ) )
17	14, 16	eqssd 3016	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( 2nd ` A ) = ( 2nd ` B ) )
18		preqlu 6662	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A = B <-> ( ( 1st ` A ) = ( 1st ` B ) /\ ( 2nd ` A ) = ( 2nd ` B ) ) ) )
19	18	3adant3 958	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> ( A = B <-> ( ( 1st ` A ) = ( 1st ` B ) /\ ( 2nd ` A ) = ( 2nd ` B ) ) ) )
20	12, 17, 19	mpbir2and 885	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ -. ( A <P B \/ B <P A ) ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   ` cfv 4922   1stc1st 5785   2ndc2nd 5786   P.cnp 6481   <P cltp 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-iltp 6660

This theorem is referenced by:  aptisr  6955