Theorem bezoutlemnewy 10385

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout predicate holds for ( y mod W ). (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	|- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
bezoutlemstep.a	|- ( th -> A e. NN0 )
bezoutlemstep.b	|- ( th -> B e. NN0 )
bezoutlemstep.w	|- ( th -> W e. NN )
bezoutlemstep.y-is-bezout	|- ( th -> [ y / r ] ph )
bezoutlemstep.y-nn0	|- ( th -> y e. NN0 )
bezoutlemstep.w-is-bezout	|- ( th -> [. W / r ]. ph )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemnewy	|- ( th -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )

Distinct variable groups:   A, s, r, t   B, s, r, t   W, s, r, t   y, s, t   ph, s, t   th, s, t   y, r

Allowed substitution hints:   ph( y, r)   th( y, r)   A( y)   B( y)   W( y)

Proof of Theorem bezoutlemnewy

Dummy variables j k q u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . 3 |- ( th -> [. W / r ]. ph )
2		bezoutlemstep.is-bezout	. . . . 5 |- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
3	2	sbcbii 2873	. . . 4 |- ( [. W / r ]. ph <-> [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
4		bezoutlemstep.w	. . . . 5 |- ( th -> W e. NN )
5		eqeq1 2087	. . . . . . 7 |- ( r = W -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
6	5	2rexbidv 2391	. . . . . 6 |- ( r = W -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
7	6	sbcieg 2846	. . . . 5 |- ( W e. NN -> ( [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( th -> ( [. W / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
9	3, 8	syl5bb 190	. . 3 |- ( th -> ( [. W / r ]. ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
10	1, 9	mpbid 145	. 2 |- ( th -> E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
11		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . . . . 7 |- ( th -> [ y / r ] ph )
12		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = u -> ( A x. s ) = ( A x. u ) )
13	12	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = u -> ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) )
14	13	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = u -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> r = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) ) )
15		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = v -> ( B x. t ) = ( B x. v ) )
16	15	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = v -> ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
17	16	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = v -> ( r = ( ( A x. u ) + ( B x. t ) ) <-> r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
18	14, 17	cbvrex2v 2586	. . . . . . . . . 10 |- ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
19	2, 18	bitri 182	. . . . . . . . 9 |- ( ph <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
20	19	sbbii 1688	. . . . . . . 8 |- ( [ y / r ] ph <-> [ y / r ] E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
21		nfv 1461	. . . . . . . . 9 |- F/ r E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) )
22		eqeq1 2087	. . . . . . . . . 10 |- ( r = y -> ( r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
23	22	2rexbidv 2391	. . . . . . . . 9 |- ( r = y -> ( E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
24	21, 23	sbie 1714	. . . . . . . 8 |- ( [ y / r ] E. u e. ZZ E. v e. ZZ r = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
25	20, 24	bitri 182	. . . . . . 7 |- ( [ y / r ] ph <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
26	11, 25	sylib 120	. . . . . 6 |- ( th -> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
27	26	ad2antrr 471	. . . . 5 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
28		bezoutlemstep.y-nn0	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> y e. NN0 )
29	28	ad4antr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. NN0 )
30	29	nn0zd 8467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. ZZ )
31	4	ad4antr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. NN )
32	30, 31	zmodcld 9347	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
33		zq 8711	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
34	30, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> y e. QQ )
35	31	nnzd 8468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. ZZ )
36		zq 8711	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. ZZ -> W e. QQ )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> W e. QQ )
38	31	nngt0d 8082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> 0 < W )
39		modqlt 9335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. QQ /\ W e. QQ /\ 0 < W ) -> ( y mod W ) < W )
40	34, 37, 38, 39	syl3anc 1169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> ( y mod W ) < W )
41		eqid 2081	. . . . . . . . . 10 |- ( y mod W ) = ( y mod W )
42		modremain 10329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ W e. NN /\ ( ( y mod W ) e. NN0 /\ ( y mod W ) < W ) ) -> ( ( y mod W ) = ( y mod W ) <-> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
43	41, 42	mpbii 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ W e. NN /\ ( ( y mod W ) e. NN0 /\ ( y mod W ) < W ) ) -> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
44	30, 31, 32, 40, 43	syl112anc 1173	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> E. q e. ZZ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
45		simprl 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> u e. ZZ )
46	45	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> u e. ZZ )
47		simprl 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> q e. ZZ )
48		simplrl 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> s e. ZZ )
49	48	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> s e. ZZ )
50	47, 49	zmulcld 8475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. s ) e. ZZ )
51	46, 50	zsubcld 8474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( u - ( q x. s ) ) e. ZZ )
52		simprr 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> v e. ZZ )
53	52	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> v e. ZZ )
54		simplrr 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> t e. ZZ )
55	54	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> t e. ZZ )
56	47, 55	zmulcld 8475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. t ) e. ZZ )
57	53, 56	zsubcld 8474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( v - ( q x. t ) ) e. ZZ )
58		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
59		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
60	59	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
61	60	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) = ( q x. ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
62	47	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> q e. CC )
63		bezoutlemstep.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( th -> A e. NN0 )
64	63	ad5antr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A e. NN0 )
65	64	nn0cnd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> A e. CC )
66	49	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> s e. CC )
67	65, 66	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. s ) e. CC )
68		bezoutlemstep.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( th -> B e. NN0 )
69	68	ad5antr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> B e. NN0 )
70	69	nn0cnd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> B e. CC )
71	55	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> t e. CC )
72	70, 71	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. t ) e. CC )
73	62, 67, 72	adddid 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) = ( ( q x. ( A x. s ) ) + ( q x. ( B x. t ) ) ) )
74	62, 65, 66	mul12d 7260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( A x. s ) ) = ( A x. ( q x. s ) ) )
75	62, 70, 71	mul12d 7260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. ( B x. t ) ) = ( B x. ( q x. t ) ) )
76	74, 75	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( q x. ( A x. s ) ) + ( q x. ( B x. t ) ) ) = ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) )
77	61, 73, 76	3eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) = ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) )
78	58, 77	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y - ( q x. W ) ) = ( ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) - ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
79		simprr 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y )
80	28	ad5antr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. NN0 )
81	80	nn0cnd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. CC )
82	31	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. NN )
83	82	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. CC )
84	62, 83	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. W ) e. CC )
85	34	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> y e. QQ )
86	37	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> W e. QQ )
87	38	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> 0 < W )
88	85, 86, 87	modqcld 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. QQ )
89		qcn 8719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y mod W ) e. QQ -> ( y mod W ) e. CC )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. CC )
91	81, 84, 90	subaddd 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( y - ( q x. W ) ) = ( y mod W ) <-> ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) )
92	79, 91	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y - ( q x. W ) ) = ( y mod W ) )
93	46	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> u e. CC )
94	65, 93	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. u ) e. CC )
95	53	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> v e. CC )
96	70, 95	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. v ) e. CC )
97	62, 66	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. s ) e. CC )
98	65, 97	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. ( q x. s ) ) e. CC )
99	62, 71	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( q x. t ) e. CC )
100	70, 99	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. ( q x. t ) ) e. CC )
101	94, 96, 98, 100	addsub4d 7466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) - ( ( A x. ( q x. s ) ) + ( B x. ( q x. t ) ) ) ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
102	78, 92, 101	3eqtr3d 2121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
103	65, 93, 97	subdid 7518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) = ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) )
104	70, 95, 99	subdid 7518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) = ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) )
105	103, 104	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) = ( ( ( A x. u ) - ( A x. ( q x. s ) ) ) + ( ( B x. v ) - ( B x. ( q x. t ) ) ) ) )
106	102, 105	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) )
107		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( B x. k ) = ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) )
108	107	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) )
109	108	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( v - ( q x. t ) ) -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) ) )
110	109	rspcev 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v - ( q x. t ) ) e. ZZ /\ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. ( v - ( q x. t ) ) ) ) ) -> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
111	57, 106, 110	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
112		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( A x. j ) = ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) )
113	112	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) )
114	113	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) )
115	114	rexbidv 2369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( u - ( q x. s ) ) -> ( E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) )
116	115	rspcev 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u - ( q x. s ) ) e. ZZ /\ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. ( u - ( q x. s ) ) ) + ( B x. k ) ) ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) )
117	51, 111, 116	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) )
118		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = s -> ( A x. j ) = ( A x. s ) )
119	118	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = s -> ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) )
120	119	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = s -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) ) )
121		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = t -> ( B x. k ) = ( B x. t ) )
122	121	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = t -> ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
123	122	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> ( ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. k ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
124	120, 123	cbvrex2v 2586	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. j ) + ( B x. k ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
125	117, 124	sylib 120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
126	32	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( y mod W ) e. NN0 )
127		eqeq1 2087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( y mod W ) -> ( r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
128	127	2rexbidv 2391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( y mod W ) -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
129	128	sbcieg 2846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y mod W ) e. NN0 -> ( [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
130	126, 129	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> ( [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( y mod W ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
131	125, 130	mpbird 165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
132	2	sbcbii 2873	. . . . . . . . 9 |- ( [. ( y mod W ) / r ]. ph <-> [. ( y mod W ) / r ]. E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
133	131, 132	sylibr 132	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) /\ ( q e. ZZ /\ ( ( q x. W ) + ( y mod W ) ) = y ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
134	44, 133	rexlimddv 2481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) /\ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
135	134	ex 113	. . . . . 6 |- ( ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
136	135	rexlimdvva 2484	. . . . 5 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> ( E. u e. ZZ E. v e. ZZ y = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
137	27, 136	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) /\ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )
138	137	ex 113	. . 3 |- ( ( th /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) -> ( W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
139	138	rexlimdvva 2484	. 2 |- ( th -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ W = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) -> [. ( y mod W ) / r ]. ph ) )
140	10, 139	mpd 13	1 |- ( th -> [. ( y mod W ) / r ]. ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   [wsb 1685   E.wrex 2349   [.wsbc 2815   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   - cmin 7279   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   QQcq 8704   mod cmo 9324

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  bezoutlemstep  10386