Theorem modremain 10329

Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modremain	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( ( N mod D ) = R <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )

Distinct variable groups:   z, D   z, N   z, R

Proof of Theorem modremain

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2083	. 2 |- ( ( N mod D ) = R <-> R = ( N mod D ) )
2		divalgmodcl 10328	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ R e. NN0 ) -> ( R = ( N mod D ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
3	2	3adant3r 1166	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( R = ( N mod D ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
4		ibar 295	. . . . 5 |- ( R < D -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
5	4	adantl 271	. . . 4 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
6	5	3ad2ant3 961	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> ( R < D /\ D || ( N - R ) ) ) )
7		nnz 8370	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
8	7	3ad2ant2 960	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> D e. ZZ )
9		simp1 938	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> N e. ZZ )
10		nn0z 8371	. . . . . . . 8 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
11	10	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> R e. ZZ )
12	11	3ad2ant3 961	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> R e. ZZ )
13	9, 12	zsubcld 8474	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( N - R ) e. ZZ )
14		divides 10197	. . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - R ) e. ZZ ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) ) )
15	8, 13, 14	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) ) )
16		eqcom 2083	. . . . . 6 |- ( ( z x. D ) = ( N - R ) <-> ( N - R ) = ( z x. D ) )
17		zcn 8356	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
18	17	3ad2ant1 959	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> N e. CC )
19	18	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> N e. CC )
20		nn0cn 8298	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. CC )
21	20	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. NN0 /\ R < D ) -> R e. CC )
22	21	3ad2ant3 961	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> R e. CC )
23	22	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> R e. CC )
24		simpr 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
25	8	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> D e. ZZ )
26	24, 25	zmulcld 8475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z x. D ) e. ZZ )
27	26	zcnd 8470	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z x. D ) e. CC )
28	19, 23, 27	subadd2d 7438	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( N - R ) = ( z x. D ) <-> ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
29	16, 28	syl5bb 190	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z x. D ) = ( N - R ) <-> ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
30	29	rexbidva 2365	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( E. z e. ZZ ( z x. D ) = ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
31	15, 30	bitrd 186	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( D || ( N - R ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
32	3, 6, 31	3bitr2d 214	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( R = ( N mod D ) <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )
33	1, 32	syl5bb 190	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( R e. NN0 /\ R < D ) ) -> ( ( N mod D ) = R <-> E. z e. ZZ ( ( z x. D ) + R ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   - cmin 7279   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   mod cmo 9324   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  bezoutlemnewy  10385  bezoutlemstep  10386