Theorem 6gcd4e2 10384

Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: ( 6 gcd 4 ) = ( ( 4 + 2 ) gcd 4 ) = ( 2 gcd 4 ) and ( 2 gcd 4 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 2 gcd 2 ) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gcd4e2	|- ( 6 gcd 4 ) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 8197	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 8372	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		4z 8381	. . 3 |- 4 e. ZZ
4		gcdcom 10365	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) = ( 4 gcd 6 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 416	. 2 |- ( 6 gcd 4 ) = ( 4 gcd 6 )
6		4cn 8117	. . . 4 |- 4 e. CC
7		2cn 8110	. . . 4 |- 2 e. CC
8		4p2e6 8175	. . . 4 |- ( 4 + 2 ) = 6
9	6, 7, 8	addcomli 7253	. . 3 |- ( 2 + 4 ) = 6
10	9	oveq2i 5543	. 2 |- ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) = ( 4 gcd 6 )
11		2z 8379	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
12		gcdadd 10376	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 2 gcd 2 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) )
13	11, 11, 12	mp2an 416	. . . 4 |- ( 2 gcd 2 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) )
14		2p2e4 8159	. . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
15	14	oveq2i 5543	. . . . 5 |- ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 2 gcd 4 )
16		gcdcom 10365	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 2 gcd 4 ) = ( 4 gcd 2 ) )
17	11, 3, 16	mp2an 416	. . . . 5 |- ( 2 gcd 4 ) = ( 4 gcd 2 )
18	15, 17	eqtri 2101	. . . 4 |- ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 4 gcd 2 )
19	13, 18	eqtri 2101	. . 3 |- ( 2 gcd 2 ) = ( 4 gcd 2 )
20		gcdid 10377	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 gcd 2 ) = ( abs ` 2 ) )
21	11, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- ( 2 gcd 2 ) = ( abs ` 2 )
22		2re 8109	. . . . 5 |- 2 e. RR
23		0le2 8129	. . . . 5 |- 0 <_ 2
24		absid 9957	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
25	22, 23, 24	mp2an 416	. . . 4 |- ( abs ` 2 ) = 2
26	21, 25	eqtri 2101	. . 3 |- ( 2 gcd 2 ) = 2
27		gcdadd 10376	. . . 4 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 4 gcd 2 ) = ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) )
28	3, 11, 27	mp2an 416	. . 3 |- ( 4 gcd 2 ) = ( 4 gcd ( 2 + 4 ) )
29	19, 26, 28	3eqtr3ri 2110	. 2 |- ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) = 2
30	5, 10, 29	3eqtr2i 2107	1 |- ( 6 gcd 4 ) = 2

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   + caddc 6984   <_ cle 7154   2c2 8089   4c4 8091   6c6 8093   ZZcz 8351   abscabs 9883   gcd cgcd 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-gcd 10339

This theorem is referenced by:  6lcm4e12  10469